Gry różniczkowe – dział matematycznej teorii sterowania optymalnego, w którym rozpatruje się sterowanie w sytuacjach konfliktowych. Ma on także związek z teorią gier. Teoria powstała w latach 50. XX wieku.

Sformułowania problemów teorii gier różniczkowych W teorii wyróżnia się dwa rodzaje gier: gra dwóch graczy, gra wielu graczy.

Podstawowe wyniki uzyskano dla gier różniczkowych dwóch graczy, a sama gra podporządkowana jest wtedy następującemu schematowi: dany jest pewien układ dynamiczny, w którym część sterujących działań podporządkowana jest graczowi I, a inna część graczowi II, zakłada się, że dla każdego z graczy wybór działań gwarantujących mu osiągnięcie założonego celu, przy dowolnym, nieznanym wcześniej sterowaniu przeciwnika, opiera się jedynie na informacji o bieżącym stanie układu.

W teorii gier różniczkowych rozpatruje się także problemy, w których zakłócenia działania układu traktuje się jako działania przeciwnika.

Zazwyczaj zakłada się, że ruch sterowanego układu jest podporządkowany równaniu różniczkowemu

gdzie jest wektorem fazowym układu, i – wektorami sterowania odpowiednio graczy I i II, a czasem. Określona jest klasa strategii gracza I, a dla każdej strategii określony jest wiązką ruchów która jest generowana przez tę strategię oraz wszystkie możliwe strategie przeciwnika. Wiązka ta wychodzi z początkowego stanu powyższego układu.

Na ruchach układu zadany jest funkcjonał nazywany płacą gry, którego wartość gracz I stara się zminimalizować. Czasem funkcjonał zależy także od realizacji sterowania obu graczyМатематическая Энциклопедия, op. cit., s. 329..

Biorąc pod uwagę także najbardziej niekorzystną realizację ruchu gdy wybór strategii jest pozostawiony graczowi II, jakość strategii jest oceniana za pomocą wielkości:

Zadanie gracza I polega na określeniu strategii na której realizowane jest minimum funkcjonału (jest to zadanie potęgi). Czasem rozpatruje się zadanie jakości, które polega na znalezieniu strategii spełniającej nierówność:

gdzie jest daną liczbąМатематическая Энциклопедия, op. cit., s. 330..

W analogiczny sposób można sformułować zadanie gracza II. Jego strategia jest oceniana przez wielkość:

Zadanie potęgi polega wtedy na znalezieniu strategii maksymalizującej wartość funkcjonału a zadanie jakości – na znalezieniu strategii dla której:

Jeśli w zadaniach graczy I i II klasy strategii i mają taką własność, że dla każdej pary uporządkowanej można określić choć jeden ruch

generowany przez tę parę, to oba te zadania generują grę różniczkową na klasie strategii

Jeśli w grze różniczkowej spełniona jest równość

to wielkość nazywa się ceną gry różniczkowej.

Przykład Typowym przykładem gry różniczkowej jest zagadnienie pościgu-ucieczkiElementarny przykład rozwiązania takiego problemu można znaleźć w książce: . W tej grze

gdzie są odpowiednio wektorami fazowymi ścigającego i uciekającego, a ich ruch opisywany jest równaniami .

Najczęściej rozpatruje się przypadki, gdy wybór sterowania podlega ograniczeniom typu

gdzie są pewnymi zbiorami zwartymi. Płacą w takiej grze jest czas spotkania, tzn.:

gdzie i są wektorami utworzonymi z pierwszych współrzędnych wektorów i Zatem zbliżenie punktów i na odległość mniejszą od jest interpretowane jako spotkanie obiektów.

Przypisy

Linki zewnętrzne Gra szofer – morderca i jej modyfikacje (jęz. rosyjski),

Kategoria:Teoria sterowania Kategoria:Teoria gier Kategoria:Równania różniczkowe