thumb|404x404px|(u góry) Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest całką z funkcji gęstości prawdopodobieństwa , równą polu powierzchni pod krzywą gęstości od do (kolor fioletowy).(na dole) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest równe polu powierzchni pod krzywą , ograniczonemu przez współrzędne oraz (kolor fioletowy)Dystrybuanta (z łac. distribuo „rozdzielać, rozdawać”) zmiennej losowej rzeczywistej jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, przyjmującą wartości w przedziale domkniętym , przy czym wartość dystrybuanty obliczonej w punkcie jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe . W szczególności:
(1) dla ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa dystrybuanta jest równa całce z funkcji gęstości prawdopodobieństwa, tj.
(2) dla dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa dystrybuanta jest równa sumie wartości funkcji masy prawdopodobieństwa w punktach , tj.
Wartość maksymalna dystrybuanty wynosi 1, gdyż (a) dla rozkładu ciągłego: całka z funkcji gęstości prawdopodobieństwa, obliczona na całej osi rzeczywistej, wynosi 1 (b) dla rozkładu dyskretnego: suma prawdopodobieństw wszystkich wartości zmiennej losowej wynosi 1.
Dystrybuanta wyznacza jednoznacznie rozkład zmiennej losowej, określony jako miara probabilistyczna na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostejMożna także rozważać dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeni dla pewnego . Z tej racji dystrybuanta zawiera wszystkie informacje o tym rozkładzie.
W statystyce rozważa się tzw. dystrybuantę empiryczną, która jest dystrybuantą rozkładu próby losowej; pojęcie to jest blisko związane z pojęciem rangi.
Analogicznie definiuje się dystrybuantę zmiennych losowych wielowymiarowych . thumb|Od góry do dołu: dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnego, rozkładu ciągłego oraz rozkładu, który ma zarówno część ciągłą, jak i dyskretną. Wszystkie te dystrybuanty są prawostronnie ciągłe.|375x375px
Definicja formalna Niech będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję daną wzorem
nazywamy dystrybuantą rozkładu .
thumb|Przykład dystrybuanty prawostronnie ciągłej z przeliczalnie nieskończonym zbiorem punktów nieciągłości.|299x299px
Uwaga: Wielu innych autorów w definicji dystrybuanty stosuje przedział otwarty
Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą, a nie prawostronnie ciągłą. Wtedy wszystkie twierdzenia, które odwołują się do tej własności (np. twierdzenie poniżej), powinny być odpowiednio zmienione; dotyczy to także wykresów dystrybuanty dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, które będą miały punkty nieciągłości odwrotnie określone (puste kółko zmienione w pełne, pełne zmienione w puste).
Twierdzenia Tw. Funkcja rzeczywista jednej zmiennej jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy: jest niemalejąca, jest prawostronnie ciągła,
Powyższe twierdzenie określa warunek konieczny i warunek wystarczający na to, by funkcja była dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Uwaga: Czasami to twierdzenie przyjmuje się jako definicję dystrybuanty (co może być prostsze, gdyż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu prawdopodobieństwa, które pochodzi z teorii miary).
Tw. Istnienie dystrybuanty implikuje jednoznacznie istnienie pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Dlatego całkowanie pewnej funkcji borelowskiej względem rozkładu jest równoważne całkowaniu funkcji względem dystrybuanty co zapisuje się za pomocą wyrażenia
Punkty skokowe Def. Punkt skokowy dystrybuanty to punkt dla którego dystrybuanta spełnia warunek:
tzn. jest to jej punkt nieciągłości.
Uwaga: Powyższa definicja jest słuszna dla definicji dystrybuanty prawostronnie ciągłej (por. rysunki); oznacza granicę lewostronną, obliczoną w punkcie .
Tw. Dystrybuanta dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa ma punkty skokowe dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam.
Tw. Dystrybuanta bezwzględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych.
Tw. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest zbiorem skończonym lub co najwyżej zbiorem przeliczalnym.
Przykłady Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale
Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach i thumb|250x250px|Dystrybuanty rozkładu normalnego o różnych wartościach parametrów .
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze thumb|252x252px|Dystrybuanty rozkładu wykładniczego o różnych wartościach parametru .
Dystrybuanta zmiennej losowej i wektora losowego Niech będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.
(1) Jeśli jest zmienną losową, to funkcja dana wzorem: W praktyce stosuje się zapis albo nawet ,
jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej
(1) Dystrybuantą wektora losowego nazywamy funkcję
Tw. Każda zmienna losowa (lub wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).
Gęstość
Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję nazywamy gęstością dystrybuanty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spełniona jest równość:
Własności Jeżeli jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z po całej prostej wynosi Jeżeli i są gęstościami tej samej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie (poza przeliczalną liczbą punktów). Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą. Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna. Jeśli dystrybuanta ma gęstość, to dla
gdzie - pochodna dystrybuanty w punkcie .
Zastosowanie gęstości Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli jest dystrybuantą rozkładu to często zachodzi konieczność całkowania względem miary Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli jest gęstością dystrybuanty to
dla każdego zbioru borelowskiego i dla każdej funkcji borelowskiej przyjmującej wartości w dla pewnej liczby naturalnej
Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest:
gdzie oznacza funkcję Cantora. jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału Dystrybuanta nie może mieć zatem gęstości ponieważ prawie wszędzie.
Funkcja charakterystyczna
Jeżeli jest dystrybuantą, to funkcję określoną wzorem
nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty
Tw. Jeżeli jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to: jest ona funkcją jednostajnie ciągłą,
dla dla
Tw. (wzór na odwrócenie) Jeżeli jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty a są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to
Dowód przeprowadza się z wykorzystaniem twierdzenia Fubiniego.
Tw. Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe.
Tw. Jeżeli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy
Powyższe twierdzenie mówi o gładkości dystrybuanty.
Zbieżność a ciągłość Słaba zbieżność Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego będącego punktem ciągłości dystrybuanty
W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”. Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.
Przykład Niech dany będzie ciąg dystrybuant:
Wówczas dla każdego ale funkcja nie jest dystrybuantą.
Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly’ego.
Twierdzenie Helly’ego Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty a jest ograniczoną funkcją ciągłą, to
Wnioskiem z twierdzenia Helly’ego jest fakt, że jeśli jest ciągiem dystrybuant, a ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych oraz jest punktowo zbieżny do dystrybuanty to ciąg jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji
Twierdzenie Lévy’ego-Craméra
Niech będzie ciągiem dystrybuant, a będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty
Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej
Zbieżność jednostajna Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić, korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.
Zobacz też odwrotna dystrybuanta funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 28-30.
Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str.65-66 oraz str. 79-80. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 48-66.
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa