mały|Diagram Venna dla (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)
Różnica symetryczna zbiorów i – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów, czyli zbioru nienależące do zbioru oraz elementy zbioru nienależące do zbioru .
To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami: , oraz . Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów, a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:
Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone Jeff Miller, Symmetric difference, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07]..
Własności mały|Różnica symetryczna trzech zbiorów, pokazująca łączność tego działania
Jeśli to . Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów: Jeśli to ogólniej, .
Zbiór składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania. Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to: jest operacją łączną, jest operacją przemienną, ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: , ma element odwrotny dla dowolnego zbioru – jest nim sam zbiór gdyż . Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej Symmetric difference of sets , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].. Z powyższych powodów zestaw tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo dla wszystkich Jest to przykład pierścienia Boole’a.
Różnica symetryczna w logice Przyjmując, że zdanie logiczne oznacza: „ należy do zbioru ”, natomiast zdanie „ należy do zbioru ” to zdanie można równoważnie zapisać jako , gdzie oznacza alternatywę rozłączną.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].
Kategoria:Działania na zbiorach