Liczby względnie pierwsze – relacja między liczbami naturalnymi i innymi całkowitymi, definiowana przez podzielność. Największy wspólny dzielnik liczb względnie pierwszych wynosi jeden. Symbolicznie:
W przypadku dwóch liczb używa się też znaku prostopadłości:
Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej jest liczbą liczb naturalnych między a , które są względnie pierwsze z .
Zbiory o więcej niż dwóch elementach mogą mieć własność względnej pierwszości parami – kiedy każde dwie różne liczby są względnie pierwsze: . Względna pierwszość całego zbioru jest logicznie słabsza od tej parami; przykładowo liczby ze zbioru są względnie pierwsze, ale nie są względnie pierwsze parami, ponieważ .
Relację względnej pierwszości definiuje się też w algebrze abstrakcyjnej, w kontekście niektórych pierścieni, co opisuje dalsza sekcja.
Przykłady Liczby i są względnie pierwsze, ale i nie są, gdyż obie są podzielne przez . Liczba jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą. Liczby , i są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi , a nie ). Poniższa tabela zaznacza względną pierwszość liczb z zakresu : +
Własności Przypadek par liczb Względna pierwszość jako relacja dwuargumentowa ma szereg własności: nie jest zwrotna; żadna liczba większa od jedynki nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ jest symetryczna, ponieważ NWD jest działaniem przemiennym; nie jest przechodnia (tranzytywna); przykładowo i ale dwójka nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwprzechodnia (atranzytywna) ze względu na względną pierwszość jedynki ze sobą samą implikuje, że ich najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb równa się ich iloczynowi: warunkiem równoważnym względnej pierwszości liczb jest, aby istniały liczby całkowite i spełniające równanie:
Przypadek ogólny Przedostatnie twierdzenie nie uogólnia się na większą liczbę czynników; przykładowo:
Na to, aby liczby były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite spełniające równanie:
Uogólnienie W pierścieniu przemiennym z jedynką ideały i nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna jest całym pierścieniem.
W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: i są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element dzieli i dzieli wynika, że jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.
Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w (bo jest dziedziną ideałów głównych).
Zobacz też funkcja φ
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-02-02]. Mutually-prime numbers , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Relacje matematyczne Kategoria:Teoria podzielności