Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.
Definicje Funkcje sinus i kosinus można definiować sobą nawzajem, przez wzór:
Jest on znany jako jedynka trygonometryczna, a artykuł o niej podaje też dwie odmiany tej tożsamości. Oprócz tego za pomocą funkcji sinus i kosinus definiuje się tangens i kotangens:
Okresowość funkcji Funkcje trygonometryczne są okresowe – dla dowolnej liczby całkowitej
Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus
Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus
Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi cosinus i secans są funkcjami parzystymi
Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami Równości
nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.
Odwrotności Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):
Funkcje sumy i różnicy kątów Źródła [dostęp 2025-04-29].:
Funkcje wielokrotności kątów Kąt podwojony Szczególny przypadek powyższych wzorów to wzory na funkcje kąta podwojonego. Źródło [dostęp 2025-04-29].:
Kąt potrojony Źródło:
Kąt poczwórny Źródło:
Wzory ogólne Można je znaleźć przez rekurencyjne stosowanie wzorów na funkcje sumy kątów [dostęp 2025-04-29]..
Funkcje kąta połówkowego Źródło [dostęp 2025-04-29].:
Suma i różnica funkcji Dwóch funkcji trygonometrycznych Źródła Zastosowanie wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-05-02]. [dostęp 2025-04-29].:
Funkcji trygonometrycznej i jedynki
Iloczyn w postaci sumy Iloczyny dwóch funkcji Źródła [dostęp 2025-04-29].:
Iloczyny trzech funkcji
Potęgi w postaci sumy Źródło większości wzorów [dostęp 2025-04-29].: Kwadraty
Sześciany
Czwarte potęgi
Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta
Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu gdzie jest funkcją wymierną zmiennych Stosuje się podstawienie:
Wzory Eulera
Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).
Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi
Wzór de Moivre’a
lub ogólniej:
Przypisy
Linki zewnętrzne Paweł Lubowiecki, Funkcje trygonometryczne cz. IV Tożsamości trygonometryczne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07]. Geometria – tożsamości trygonometryczne, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28].
Kategoria:Twierdzenia trygonometrii