Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie do osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.
Notacja Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:
Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy Niech rząd systemu wynosi Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki do postaci w następujący sposób:
jest macierzą odwrotną o rozmiarach zdefiniowaną jako:
gdzie: – macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne, jak i nieobserwowalne; – jest tak dobrana, że kolumny stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej; – jest tak dobrana, że kolumny stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej; – jest tak dobrana, że macierz jest odwrotna.
Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład jeśli system jest zarówno obserwowalny, jak i sterowalny, wówczas co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.
Forma standardowa Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności, można pokazać, że układ po transformacji ma macierze o następującej postaci:
Prowadzi to do wniosku, że: Podukład jest zarówno osiągalny, jak i obserwowalny. Podukład jest osiągalny. Podukład jest obserwowalny.
Zobacz też układ regulacji stałowartościowej
Kategoria:Teoria sterowania