Zbiór gęsty – podzbiór przestrzeni topologicznej, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym przestrzeni topologicznej co najmniej jeden punkt wspólny.
Zbiór gęsty w przestrzeni metrycznej Niech dana będzie przestrzeń metryczna z metryką .
Tw. Zbiór jest gęsty, jeśli dowolnie blisko każdego elementu znajduje się jakiś element z .
Innymi słowy, zbiór jest gęsty, jeśli dla każdego elementu i dla dowolnie małej liczby istnieje element taki, że .
Zbiór nigdziegęsty Def. Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem nigdziegęstym, jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.
Przestrzeń ośrodkowa Def. Przestrzenią ośrodkową nazywa się przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty.
Własność ta oznacza, że za pomocą przeliczalnej liczby punktów można podejść dowolnie blisko każdego innego punktu w tej przestrzeni.
Przykłady.
Prosta rzeczywista jest przestrzenią ośrodkową. Jej przeliczalnym i gęstym podzbiorem jest zbiór liczb wymiernych . Przestrzenie euklidesowe są ośrodkowe. Zbiorem gęstym jest (zbiór punktów o wszystkich współrzędnych wymiernych), który jest przeliczalny.
Kontrprzykłady
Przestrzeń Przestrzeń wszystkich ciągów ograniczonych z normą supremum nie jest ośrodkowa. Można w niej wskazać nieprzeliczalnie wiele punktów (np. ciągi zero-jedynkowe), z których każdy leży w odległości 1 od pozostałych, przez co żaden zbiór przeliczalny nie może być gęsty. Przestrzeń dyskretna nieprzeliczalna. Jeśli na zbiorze nieprzeliczalnym zdefiniujemy topologię dyskretną (gdzie każdy punkt jest zbiorem otwartym), jedynym zbiorem gęstym jest cała ta przestrzeń. Ponieważ jest ona nieprzeliczalna, przestrzeń nie jest ośrodkowa.
Przykłady zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęstymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych z naturalną (euklidesową) metryką.
Zbiór wielomianów jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum (Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa).
Zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.
Zbiór funkcji prostych jest gęsty w zbiorze funkcji całkowalnych z metryką generowaną przez normę . Jeśli miara jest miarą Radona to również zbiór funkcji ciągłych jest podzbiorem gęstym.
Zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie. Dopełnienia zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeniach Baire’a są zbiorami gęstymi. Zbiory pełnej miary Lebesgue’a na prostej są zbiorami gęstymi. Przecięcie dwóch zbiorów gęstych może być zbiorem pustym, np. zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęste na prostej, ale ich część wspólna jest zbiorem pustym. Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie zawierają więcej niż dwóch rozłącznych podzbiorów gęstych, tzw. irresolvable spaces.
Teoria mnogości Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór częściowego porządku taki, że:
Przypisy
Bibliografia
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
Linki zewnętrzne Dense set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów