Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością zbiór złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

przy czym dla dowolnego podzbioru pierścienia symbol oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających

Własności Punkt w przestrzeni jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc zazwyczaj przestrzenią T1, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa. Jeśli punkt przestrzeni należy do domknięcia innego punktu tej przestrzeni, to jako zbiór jest zawarty w (skoro jest elementem to musi zawierać zbiór ). jest przestrzenią T0.

Zbiory otwarte w topologii Zariskiego Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w jest

Dla każdego elementu pierścienia niech oznacza dopełnienie w zbioru (będące zbiorem otwartym). Zbiory składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia które nie zawierają elementu Ponadto, zbiory tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego. zbiór jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element jest nilpotentny. zbiór jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy element jest jednością w pierścieniu przestrzeń jest zwarta, a każdy zbiór jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni zbiór otwarty w jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci

Składowe nierozkładalne i nierozkładalność Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni są zbiory gdzie jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia jest ideałem pierwszym.

Spektrum jako schemat afiniczny Na przestrzeni topologicznej można zdefiniować snop pierścieni Mianowicie, dla określmy lokalizacja pierścienia w Ponieważ dla różnych zbiory tworzą bazę topologii oraz dla istnieje naturalne odwzorowanie łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach

Przestrzeń wraz z tak określonym snopem nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.

Przykłady Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci gdzie jest liczbą pierwszą:

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt przestrzeni jest domknięty (punkt domknięty nie jest). Ponadto, jeśli jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru należą te i tylko te ideały pierwsze (ewentualnie gdy ), dla których liczba dzieli każdą liczbę należącą do tj.

W szczególności, każdy zbiór jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych jeśli jest ich iloczynem, to Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w są zbiory skończone i zbiór Dwa zbiory otwarte w mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Spectrum of a ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].

Kategoria:Teoria pierścieni