Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym.

Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – to otoczenie punktu z wyłączeniem (w sensie różnicy zbiorów) tego punktu Mariusz Doliński, Co to jest otoczenie punktu na prostej?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].. Zatem, jeśli jest otoczeniem punktu , to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów

Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. ekstremum funkcji czy granice funkcji w punkcie Mariusz Doliński, Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31]. Katarzyna Czyżewska, Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 29 czerwca 2022 [dostęp 2024-01-31]..

Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych mały|400px|Pokazany przedział na osi rzeczywistej to otoczenie otwarte punktu z promieniem (epsilon).

Otoczenia definiuje się dla dowolnej liczby rzeczywistej czyli punktu na osi liczbowej. Otoczenie to pewien typ przedziału otwartego, a dokładne znaczenie zależy od kontekstu: otoczenie w sensie wąskim (sensu stricto) to każdy przedział otwarty złożony ze wszystkich liczb odległych od o mniej niż ustalona wartość, zwana promieniem otoczenia:

otoczenie w sensie szerokim (sensu largo) to dowolny przedział otwarty zawierający punkt ; punkt ten nie musi być pośrodku tego przedziału, a przedział nie musi być ograniczony – może nim być cała oś rzeczywista:

Oprócz tego dla każdego punktu , definiuje się Katarzyna Czyżewska, Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 czerwca 2017 [dostęp 2024-02-01].: sąsiedztwo, czyli różnicę odpowiedniego przedziału i tego punktu, tj. sumę mnogościową przedziałów: sąsiedztwo lewostronne, czyli przedział otwarty, którego prawym końcem (kresem górnym) jest ten punkt: sąsiedztwo prawostronne, czyli przedział otwarty, którego lewym końcem (kresem dolnym) jest ten punkt:

Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych thumb|Zbiór na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu jeżeli istnieje koło bez brzegu (czyli otwarta kula w przestrzeni dwuwymiarowej) zawierające i zawarte w

W przestrzeni metrycznej z metryką otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Otoczenia punktu Zbiór nazywamy otoczeniem punktu , jeśli istnieje kula otwarta, o środku w punkcie i promieniu , ,

która jest zawarta w zbiorze .

Przykłady otoczeń otwartych Na płaszczyźnie euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu. W przestrzeni euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Otoczenia jednostajne zbioru thumb|Zbiór na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie zbioru

Otoczeniem jednostajnym zbioru w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór o tej własności, że istnieje taka liczba że dla każdego kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.

jest zawarta w zbiorze

Innymi słowy, zbiór jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru

Otoczenia w przestrzeniach topologicznych Otoczenia punktu Niech będzie elementem przestrzeni topologicznej . Zbiór nazywamy otoczeniem punktu , gdy istnieje taki zbiór otwarty , dla którego zachodzi następujący napis:

Równoważnie, możemy także powiedzieć, że: zbiór nazywamy otoczeniem punktu , jeśli , gdzie oznaczenie oznacza tak zwane wnętrze zbioru .

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Otoczenia zbioru Niech jest podzbiorem . Otoczeniem zbioru jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

System otoczeń a topologia Jeżeli dla każdego punktu zbioru dana jest pewna rodzina podzbiorów zbioru spełniająca warunki: dla każdego mamy, że dla dowolnego istnieje takie że dla wszelkich to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewien zbiór z rodziny

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę złożoną ze zbioru oraz rodziny

zbiorów których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru spełniające następujące aksjomaty: Każde otoczenie zawiera oraz zbiór jest otoczeniem każdego swojego punktu. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie jest także otoczeniem Przecięcie dowolnej pary otoczeń jest także otoczeniem W każdym otoczeniu zawarte jest takie otoczenie które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu.

Zobacz też Baza otoczeń

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2024-02-01]. [dostęp 2024-02-01]. Neighbourhood , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-01].

Kategoria:Analiza rzeczywista Kategoria:Dwuczłonowe relacje geometryczne Kategoria:Relacje topologiczne