Złożenie relacji dwuargumentowych – uogólnienie złożenia funkcji na dowolne relacje dwuargumentowe; sposób konstrukcji relacji dwuargumentowej z dwóch innych, a zarazem wynik tej konstrukcji. Formalnie dla zbiorów i relacji złożenie tej dwójki to zbiór zdefiniowany warunkiem Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].:
innymi słowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego zachodzi Composition , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-12]..
Uwaga. Powyższa definicja sprawia, że w przypadku kiedy relacja dwuargumentowa jest też funkcją, złożenie funkcji jest szczególnym przypadkiem złożenia relacji. W niektórych źródłach, zwłaszcza z pograniczy informatyki i teorii baz danych, można spotkać definicję relacji różniącą się kolejnością składanych relacji.
Przykłady Niech i będą takimi relacjami w zbiorze że:
Wtedy odpowiednio złożeniem relacji będą:
Własności
Jest to działanie łączne; relacje dwuczłonowe na ustalonym zbiorze tworzą z nim półgrupę:
Operacja złożenia relacji nie jest przemienna Słownik teorio-mnogościowy, Katedra Podstaw Informatyki – Wydział Informatyki i Telekomunikacji Politechniki Wrocławskiej (WIT PWr), cs.pwr.edu.pl [dostęp 2025-05-13]. – istnieją relacje i dla których
Jeśli relacje i są jednoznaczne lewostronnie (iniektywne), to złożenie relacji również jest jednoznaczne lewostronnie (iniektywne). W drugą stronę jednoznaczność lewostronna (iniektywność) pociąga jedynie jednoznaczność lewostronną (iniektywność) . Jeśli relacje i są całkowite prawostronnie (surjektywne), to złożenie relacji również jest całkowite prawostronnie (surjektywne). Odwrotnie całkowitość prawostronna (surjektywność) pociąga tylko całkowitość prawostronną (surjektywność) . Składanie relacji jest prawostronnie rozdzielne względem sumy zbiorów:
Działanie to nie jest rozdzielne względem przekroju zbiorów, jednak zachodzi słabszy fakt:
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Relacje dwuczłonowe Kategoria:Działania dwuargumentowe