Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych określonych na przestrzeniach Hilberta nazywa się operator taki że:

dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.

(ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta tj. to dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni) wynik działania operatora na wektor – iloczyn tensorowy wektorów należący do dziedziny operatora jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów tj.

czyli

Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonych Twierdzenie:

Jeżeli

(1) są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach

(2) są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach oraz jest zbiorem wartości własnych operatora jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora

(3) Operator gdzie – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zadany jest wzorem

(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)

to słuszne są następujące własności:

(1) operator jest również operatorem samosprzężonym

(2) Wartościami własnymi operatora są liczby

(3) dla wszystkich słuszne są równości

(4) norma operatora jest iloczynem norm poszczególnych operatorów gdyż:

Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych Jeżeli są przestrzeniami Hilberta są operatorami ograniczonymi na gdzie

to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony na

że

dla wszystkich Ponadto

Operator nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów i oznaczany symbolem

Definicja n-tej potęgi tensorowej operatora Jeżeli oraz to używa się zapisu

Operator nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora

Własności Dla przestrzeniami Hilberta oraz liniowych operatorów ograniczonych określonych na przestrzeniach Hilberta gdzie niech

Wówczas: Odwzorowanie jest n-liniowe.

Jeżeli dla każdego operator odwrotny do istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora jest również ograniczony.

Ponadto

Jeśli jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego to operator również. Operator jest dodatni, jeśli dla każdego operator jest dodatni. Jeśli (zob. notacja Diraca), gdzie dla każdego wówczas

Jeżeli i są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory i to widmem iloczynu tensorowego jest zbiór .

Zobacz też operator ograniczony

Przypisy

Kategoria:Przestrzenie Hilberta