mały|prawo|Równoległobok. Boki zaznaczono kolorem niebieskim, przekątne – kolorem czerwonym. Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Dla równoległoboku zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok, można zapisać ją wzorem
Jeżeli równoległobok jest prostokątem, to przekątne mają równe długości, a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa. W ogólności jednak kwadrat długości żadnej z przekątnych nie jest sumą kwadratów długości dwóch boków.
Przestrzenie unitarne W przestrzeniach unitarnych wyrażenie reguły równoległoboku sprowadza się do tożsamości algebraicznej nazywanej często właśnie tożsamością równoległoboku:
gdzie:
Przestrzenie unormowane Większość rzeczywistych i zespolonych unormowanych przestrzeni liniowych nie jest wyposażonych w iloczyny skalarne, ale we wszystkich określone są normy (stąd nazwa). Z tego powodu można obliczyć wartości wyrażeń po obu stronach powyższej równości. Ważnym faktem jest, iż jeżeli spełniona jest powyższa tożsamość, to norma musiała powstać w standardowy sposób z pewnego iloczynu skalarnego (została przez niego indukowana). Dodatkowo iloczyn skalarny ją generujący wyznaczony jest jednoznacznie, co jest konsekwencją tożsamości polaryzacyjnej; w przypadku rzeczywistym dany jest on wzorem
lub, równoważnie, albo
W przypadku zespolonym wzór ma postać:
Linki zewnętrzne Prosty dowód reguły równoległoboku na UNLV Kappa Sigma Reguła równoległoboku: dowód bez słów na cut-the-knot Dowód reguły równoległoboku na Planet Math
Kategoria:Twierdzenia o czworokątach Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Hilberta