Sprzężona algebra Banacha – algebra Banacha A, która jako przestrzeń Banacha jest przestrzenią sprzężoną do pewnej przestrzeni Banacha E oraz dla każdego elementu a algebry A operacje
są *-słabo ciągłe, tzn. ciągłe względem topologii Sprzężone algebry Banacha są uogólnieniem W*-algebr (algebr von Neumanna), ale w przeciwieństwie do nich, przestrzenie do których są one sprzężone nie muszą być wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Przykłady Dowolna W*-algebra jest sprzężoną algebrą Banacha. Algebra miar borelowskich (z mnożeniem jako działaniem splotu miar) na lokalnie zwartej grupie topologicznej G jest sprzężoną algebrą Banacha. Algebra ta jest przestrzenią sprzężoną do przestrzeni funkcji ciągłychh na G, znikających w nieskończoności. Algebra operatorów ograniczonych na refleksywnej przestrzeni Banacha E. W tym przypadku: (symbol oznacza projektywny iloczyn tensorowy przestrzeni Banacha). Jeżeli A jest algebrą Banacha, to z działaniem iloczynu Arensa jest sprzężoną algebrą Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy działanie to jest regularne w sensie ArensaF. Gourdeau, Amenability and the second dual of a Banach algebra, Studia Mathematica, 125 (1997), s. 75–81.. *-słabo domknięte podalgebry sprzężonej algebry Banacha są sprzężonymi algebrami Banacha.
Reprezentacja sprzężonych algebr Banacha Każdą C*-algebrę można zanurzyć w algebrę operatorów na pewnej przestrzeni Hilberta (konstrukcja Gelfanda-Naimarka-Segala). Twierdzenie w podobnym duchu można udowodnić w przypadku sprzężonych algebr Banacha. Dokładniej, jeżeli A jest sprzężoną algebrą Banacha, to istnieje refleksywna przestrzeń Banacha E oraz homomorfizm
który jest odwzorowaniem ciągłym względem i z *-słabymi topologiamiM. Daws, Dual Banach algebras: representation and injectivity, „Studia Mathematica”, 178 (2007), s. 231–275..
Przypisy
Kategoria:Algebry Banacha