Miara regularna – miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.
Definicja Niech będzie przestrzenią topologiczną, zaś oznacza σ-algebrę określoną na która zawiera topologię (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domknięte są mierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech będzie miarą na Podzbiór mierzalny przestrzeni jest -regularny, jeśli
oraz
Równoważnie jest zbiorem -regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieją zbiory domknięty i otwarty takie, że
przy czym
Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę nazywa się regularną.
Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór był zwarty (a nie tylko domknięty)Dudley 1989, rozdział 7.1.
Przykłady Zgodnie z twierdzeniem o regularności miary Lebesgue’a: miara Lebesgue’a na prostej rzeczywistej jest miarą regularną. Dowolna borelowska miara prawdopodobieństwa na przestrzeni metrycznej jest regularna. Miara trywialna, która przypisuje zero dowolnemu zbiorowi mierzalnemu jest regularna. Trywialnym przykładem miary nieregularnej na prostej rzeczywistej z jej standardową topologią jest miara taka, że
oraz dla jakiegokolwiek innego zbioru
Przypisy
Bibliografia
(zob. rozdział 2)
Zobacz też miara borelowsko regularna, miara wewnętrznie regularna, miara zewnętrznie regularna.
Kategoria:Miary (teoria miary)