Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczneWynika to stąd, iż odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem.; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
Przestrzeń topologiczną, w której nie da się wprowadzić metryki, nazywa się przestrzenią niemetryzowalną.
Twierdzenia o metryzacji Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że: Przestrzeń zwarta Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularną przestrzenią Hausdorffa. Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 rokuUrysohn, Paweł: Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume, Math. Ann. 92 (1924), s. 275–293., drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnychUrysohn, Paweł: Zum Metrisationproblem. Math. Ann. 94 (1925). s. 309–315.. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 rokuTichonow, Andriej: Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann. vol. 95 (1926) s. 139–142.. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt: Kostka Hilberta jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni uniwersalnych ośrodkowych i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.
Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-SmirnowaNagata J.: On a necessary and sufficient condition of metrizability, J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), s. 93–100.Smirnow Jurij: On metrization of topological spaces, Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). s. 100–111., które mówi, że: Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma σ-lokalnie skończoną bazę. Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie BingaBing R.H.: Metrization of topological spaces Canad. J. Math., 3 (1951) s. 175–186. (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że: Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną. Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze Swardson, M.A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979). s. 188. pdf..
Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie metryzowalną, jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta; w szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.
Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore’a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.
Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne. Prosta Sorgenfreya nie jest metryzowalna; jednak jest ona Hausdorffa, parazwarta i spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności. Prosta Aleksandrowa jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna. przestrzeń liniowo-topologiczna wszystkich funkcji z topologią zbieżności punktowejTopologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie (zob. przestrzeń funkcyjna). topologia Zariskiego na rozmaitości algebraicznej lub na spektrum pierścienia (pojęcie geometrii algebraicznej) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet przestrzenią Hausdorffa, więc nie może być metryzowalna.
Uwagi
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie topologiczne