Otoczka mierzalna – dla danego podzbioru przestrzeni z miarą, zbiór mierzalny, który jest w pewnym sensie od niego niewiele większy. Otoczka mierzalna (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie (tzn. jest wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero). Otoczką mierzalną zbioru mierzalnego jest on sam oraz każdy inny zbiór mierzalny różniący się z nim o zbiór miary zero. Czasami używa się również pojęcia dualnego do pojęci otoczki mierzalnej, tzw. jądra mierzalnego.
Definicja Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech dla dowolnego
Zbiór nazywany jest otoczką mierzalną zbioru gdy oraz dla każdego zbioru
jądrem mierzalnym zbioru gdy oraz dla każdego zbioru
Zbiór ma otoczkę mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro mierzalne.
Własności Jeżeli oraz to jest otoczką mierzalną zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego takiego zbioru że mamy Jeżeli oraz i to jest otoczką mierzalną zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy
Jeżeli jest otoczką mierzalną zbioru oraz to jest otoczką mierzalną zbioru Jeżeli dla każdej liczby naturalnej n zbiór jest otoczką mierzalną zbioru to jest otoczką mierzalną Jeżeli jest miarą σ-skończoną, to każdy zbiór ma otoczkę mierzalną. W szczególności, każdy podzbiór przestrzenią euklidesową (z miarą Lebesgue’a) ma otoczkę mierzalną. Jeżeli jest miarą σ-skończoną oraz jest ideałem zbiorów miary zero w to ilorazowa algebra Boole’a jest monadyczną algebrą Boole’a z operacją gdzie jest klasą abstrakcji dowolnej otoczki mierzalnej dowolnego reprezentanta klasy
Bibliografia D.H. Fremlin: Measure Thoery: Volume 1. Torres Fremlin, Colchester 2000, s. 66.
Kategoria:Teoria miary