Warunkowa wartość oczekiwana – w teorii prawdopodobieństwa i statystyce wartość oczekiwana zmiennej losowej obliczana w odniesieniu do jej rozkładu warunkowego. Intuicyjnie jest to „przeciętna” wartość, jaką przyjmuje zmienna losowa w sytuacji, gdy dysponujemy dodatkową informacją o wyniku doświadczenia losowego (np. wiemy, że zaszło określone zdarzenie lub znamy realizację innej zmiennej losowej) i możemy wyznaczyć prawdopodobieństwa warunkowe.

Przykład Rozważany jest rzut symetryczną, sześciościenną kostką do gry. Niech zmienna losowa oznacza liczbę wyrzuconych oczek.

Wartość oczekiwana bezwarunkowa. Każdy wynik ma prawdopodobieństwo . Zgodnie z definicją:

Wartość oczekiwana warunkowa. Przyjmijmy, że uzyskano informację, iż wynik rzutu jest liczbą parzystą (zaszło zdarzenie ). W nowej przestrzeni zdarzeń każdy z tych trzech wyników jest jednakowo prawdopodobny (). W takiej sytuacji warunkowa wartość oczekiwana wynosi:

Dodatkowa informacja o parzystości wyniku pozwoliła na aktualizację wartości oczekiwanej z 3,5 na 4.

Definicja dla zdarzenia

Jeżeli jest zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie (), to dla zmiennej dyskretnej

Dla zmiennej ciągłej

gdzie jest gęstością warunkową.

Warunkowa wartość oczekiwana względem zmiennej losowej

Jeżeli i są zmiennymi losowymi, to

jest funkcją zmiennej .

Dla zmiennych dyskretnych

Przykład

Niech

gdzie jest niezależna od i

Wówczas

Znając , najlepszym przewidywaniem jest po prostu .

Najważniejsze własności Liniowość

Wyciąganie znanych czynników

Jeżeli jest mierzalna względem , to

Prawo iterowanej wartości oczekiwanej

W szczególności

Niezależność. Jeżeli jest niezależna od , to

Założenia Niech będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym Niech również będzie zmienną losową,

gdzie jest mierzalna

jest zdarzeniem takim, że

Definicje Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

Niech będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) jest -mierzalna,

2) dla dowolnego

Dla dowolnego σ-ciała i zmiennej losowej całkowalnej istnieje i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech gdzie i niech Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała jest równa:

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności Niech i niech będzie σ-ciałem. Wówczas:

Jeśli jest -mierzalna, to

Dla dowolnego mamy:

Jeśli jest niezależna od (tzn. σ i są niezależne), to:

Jeśli jest ograniczoną zmienną -mierzalną, to:

Zobacz też wartość oczekiwana prawdopodobieństwo prawdopodobieństwo warunkowe

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa