thumb|300px|Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu. Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.
Problemy odwrotne to jedna z najważniejszych klas problemów matematycznych, skoncentrowanych wokół bardzo wielu różnych dziedzin nauki; ponieważ są to zagadnienia, które są w stanie – przy pewnych założeniach na ich temat – powiedzieć nam coś o pewnych wielkościach, których nie jesteśmy jednak w stanie bezpośrednio zaobserwować. Wiele problemów odwrotnych można znaleźć w ramach takich obszarów wiedzy, jak między innymi: identyfikacja systemu, optyka, radiolokacja, akustyka, teoria komunikacji, przetwarzanie sygnałów, obrazowanie medyczne, rozpoznawanie obrazów, geofizyka, oceanografia, meteorologia, astronomia, teledetekcja, przetwarzanie języka naturalnego, uczenie maszynowe, defektoskopia, stateczność zboczy (zagadnienie geotechniki); a także w ramach wielu innych, niewymienionych tutaj.
Zapis formalny Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:
gdzie to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); oznacza warunki brzegowe; to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów wyznaczana jest wartość to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora i wybranych parametrów spośród mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów i wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym.
Prosty przykład Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy, że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.
Typy problemów źle postawionych W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych: typ I – gdy liczba niewiadomych jest większa niż liczba danych wejściowych, typ II – gdy poszukiwane parametry modelu są niewrażliwe na dane wejściowe, typ III – gdy zmierzone dane wejściowe obarczone błędem pomiarowym poddawane są działaniu operatora różniczkowego.
Przykłady zastosowań Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej, wyznaczanie prądów morskich, zastosowanie w badaniach nieniszczących czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii i elektroencefalografii.
Zobacz też regularyzacja Tichonowa
Przypisy
Linki zewnętrzne Międzynarodowe Stowarzyszenie Problemów Odwrotnych
Kategoria:Matematyka stosowana Kategoria:Terminologia matematyczna