Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.
Proste przypadki Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:
gdzie: – siła ściskająca, – moduł Younga, – pole ściskanego przekroju.
Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:
gdzie: – siła ścinająca, – moduł Kirchhoffa, – pole ściskanego przekroju, – współczynnik kształtu.
Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:
gdzie: – moment gnący, – moduł Younga, – moment bezwładności przekroju.
Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:
gdzie: – moment skręcający, – moduł Kirchhoffa, – biegunowy moment bezwładności przekroju.
Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta
Energia właściwa Energia sprężysta nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii. Wyraża się ona wzorem
W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci
(a)
gdzie są odpowiednio -tym naprężeniem i -tym odkształceniem głównym.
W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości prostopadłościanu o bokach wyraża się wzorem
(b)
gdzie:
Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory
(c1) (c2) (c3)
których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku
(d)
gdzie jest liczbą Poissona.
Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru
(e)
z którego wynika, że zmiana objętości nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenie
to zamiast (e) otrzymamy
gdzie:
jest modułem odkształcenia objętościowego.
Naprężeniu odpowiada odkształcenie
Energia właściwa odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem
lub
Całkowita energia właściwa układu jest sumą dwu składników: przy czym jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a – energią właściwą odkształcenia postaciowego.
Energię właściwą odkształcenia postaciowego otrzymamy zatem ze wzoru
Dla prostego rozciągania tzn. gdy, mamy
Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu, że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach.
Twierdzenia o energii sprężystej twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac i przemieszczeń) twierdzenie J.C. Maxwella (o wzajemności przemieszczeń): szczególna postać twierdzenia Bettiego, gdy są tylko dwie równe siły twierdzenie Castigliano twierdzenie Menabrei (zasada minimum pracy)
Zobacz też zasada minimum energii potencjalnej
Przypisy N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.
Kategoria:Wytrzymałość materiałów Kategoria:Energia