Odwzorowanie Stone’a
Niech będzie kratą rozdzielną i niech Niech dalej
Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem Stone’a.
Dowód twierdzenia o reprezentacji Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty w kratę mnogościową na zbiorze
Różnowartościowość Niech Bez straty ogólności możemy założyć, że wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym, istnieje filtr pierwszy dla którego i Wówczas czyli
Zgodność z działaniami Mamy:
skąd
Dalej:
skąd
To kończy dowód.
Uwagi Rodzina jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone’a. Jak widać, odwzorowanie Stone’a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco: dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej
W przypadku, gdy jest reduktem algebry Boole’a, przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga).
Przykład thumb|left|500px|Krata rozdzielna i jej filtry thumb|500px|Jej obraz w reprezentacji Stone’a
Kategoria:Twierdzenia o kratach