Klasyczny rachunek zdań – najpopularniejszy system formalny logiki matematycznej, w którym formuły reprezentujące zdania logiczne mogą być tworzone z formuł atomowych za pomocą wymienionego niżej zbioru aksjomatów.

Definicja Klasyczny rachunek zdań, KRZ, w wersji inwariantnej – rachunek zdaniowy w języku klasycznego rachunku zdań z regułą odrywania jako jedyną pierwotną regułą wnioskowania oraz aksjomatami następującej postaci: {| cellspacing=25 |Ax    | prawo poprzedzania |- |Ax    | sylogizm Fregego |- |Ax    | prawo opuszczania koniunkcji, 1. |- |Ax    | prawo opuszczania koniunkcji, 2. |- |Ax    | prawo wprowadzania koniunkcji |- |Ax    | prawo wprowadzania alternatywy, 1. |- |Ax    | prawo wprowadzania alternatywy, 2. |- |Ax    | prawo łączenia implikacji |- |Ax    | prawo opuszczania równoważności, 1. |- |Ax    | prawo opuszczania równoważności, 2. |- |Ax    | prawo wprowadzania równoważności |- |Ax    | prawo przepełnienia |- |Ax    | prawo redukcji do absurdu |- |Ax    | silne prawo podwójnego przeczenia

Związek z intuicjonistycznym rachunkiem zdań W tej formie aksjomatyka ta jest rozszerzeniem aksjomatyki intuicjonistycznego rachunku zdań, którą stanowią formuły o formułę

Przykłady dowodu w systemie formalnym klasycznego rachunku zdań znaleźć można w artykule dot. intuicjonistycznego rachunku zdań. Ponieważ KRZ jest rozszerzeniem INT tylko o jeden aksjomat, zamieszczone tam dowody są także poprawnymi dowodami w klasycznym rachunku zdań.

Gdyby chcieć uprawiać KRZ w oderwaniu od INT, można zamiast aksjomatów przyjąć {| cellspacing=25 |Ax    | prawo kontrapozycji |- |Ax    | prawo podwójnego przeczenia

Niektórzy autorzy wręcz ograniczają język KRZ np. do i traktując pozostałe spójniki jako wtórne: {| cellspacing=25 |Df    |- |Df    |- |Df   

Wówczas np. wykazanie prawa przemienności alternatywy sprowadza się do dowodliwości formuły a dowodliwość praw de Morgana, to dowodliwość formuł

oraz

Twierdzenia o dedukcji W KRZ podobnie jak w INT prawdziwe są klasyczne Twierdzenie o dedukcji:

oraz uogólnione twierdzenie o dedukcji:

gdzie oznacza zbiór formuł dowodliwych w KRZ ze zbioru założeń

Wynika to z faktu, że w dowodzie obu tych twierdzeń korzysta się z aksjomatów o numerach nie przekraczających liczby

W odróżnieniu jednak od INT, w przypadku KRZ trzeci punkt ostatniego twierdzenia może także przyjąć postać:

4.

Jako przykład użycia tej wersji twierdzenia o dedukcji, wykażemy dowodliwość w KRZ tzw. silnego prawa kontrapozycji:

oraz prawa wyłączonego środka:

Prawo kontrapozycji (silne) {| cellspacing=15 |1.

|2. | | jest sprzeczny |- |3.

|4.

|5.

Prawo wyłączonego środka {| cellspacing=15 |1.

|2.

|3. | | – sprzeczny |- |4.

|5.

|6.

|7. | | – sprzeczny |- |8.

|9. | | – sprzeczny |- |10.

Związek z algebrą Boole’a

Formuła języka klasycznego rachunku zdań jest tezą KRZ jeśli jest ona prawdziwa dowolnej algebrze Boole’a.

W szczególności jeśli formuła nie jest tezą KRZ, to można ją obalić w dwuelementowej algebrze Boole’a czyli nie jest ona tautologią klasyczną.

Zobacz też algebra ogólna intuicjonistyczny rachunek zdań matryca logiczna języka zdaniowego

Linki zewnętrzne

Kategoria:Rachunek zdań