Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli i są przestrzeniami unormowanymi, to wzór
określa normę w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych określonych na i wartościach w
Zachodzą ponadto następujące równości
przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy ma co najmniej jeden wymiar.
Zupełność przestrzeni operatorów Przestrzeń jest przestrzenią Banacha, gdy jest przestrzenią Banacha. Dowód. Niech będzie ciągiem Cauchy’ego w W szczególności, jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego elementu przestrzeni ponieważ
Używając zupełności możemy zdefiniować przyporządkowanie wzorem
W szczególności jest operatorem liniowym, który jest punktową granicą ciągu operatorów liniowych. Ponadto,
z uwagi na to, że ciągi Cauchy’ego są ograniczone. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że operator jest ograniczony. Dla danej liczby istnieje takie że dla zachodzi
W szczególności
dla elementów z przestrzeni dla których oraz Ostatecznie także w tym przypadku
co pokazuje, że ciąg jest zbieżny do
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przestrzenie Banacha Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha