thumb|Évariste Galois (1811–1832)
Teoria Galois – dział matematyki wyższej definiowany dwojako: w sensie węższym jest to gałąź algebry abstrakcyjnej stosująca teorię grup do badania ciał i wielomianów; w sensie szerszym jest badanie różnych struktur za pomocą ich grup automorfizmów Galois theory , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-15]..
Dziedzinę tę stworzył w I połowie XIX wieku Évariste Galois, od którego nazwiska jest nazwana. Opisał on związki między pierwiastkami rzeczywistych i zespolonych wielomianów za pomocą grup permutacji; zasadnicze twierdzenie teorii Galois podaje warunek równoważny na rozwiązalność równania wielomianowego przez pierwiastniki. Tym sposobem podał on nowy dowód twierdzenia Abela-Ruffiniego i rozszerzył ten wynik negatywny o wynik pozytywny – wskazując, kiedy rozwiązanie równań tym sposobem jest możliwe. Galois podał też wszystkie ciała skończone. Późniejsi badacze jak Richard Dedekind, Leopold Kronecker, Emil Artin i inni opracowali nowe podejście do tej dyscypliny, oparte na badaniu rozszerzeń ciał oraz automorfizmów tych rozszerzeń. Ten obszar badań bywa nazywany algebraiczną teorią Galois Wstęp do algebraicznej i różniczkowej teorii Galois – opis przedmiotu, webapps.uz.zgora.pl [dostęp 2023-02-15]. dla kontrastu z późniejszą różniczkową teorią Galois, która bada rozwiązalność liniowych równań różniczkowych Różniczkowa teoria Galois, usosweb.uj.edu.pl [dostęp 2023-02-15]..
Teoria Galois dostarcza też prostego dowodu zasadniczego twierdzenia algebry. Czasem do wyników tej dziedziny zalicza się też warunek konstruowalności pewnych figur przez konstrukcje klasyczne, ponieważ jest on sformułowany w języku rozszerzeń ciał. Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria połączeń Galois.
Historia Początki teorii Galois sięgają badań nad funkcjami symetrycznymi – współczynniki wielomianu są (z dokładnością do znaku) elementarnymi wielomianami symetrycznymi pierwiastków. Przykładowo gdzie i są wielomianami elementarnymi stopni pierwszego i drugiego dwóch zmiennych.
Jako pierwszy formalnie ujął to szesnastowieczny matematyk francuski François Viète w tzw. wzorach Viète’a dla dodatnich pierwiastków rzeczywistych. W opinii osiemnastowiecznego matematyka brytyjskiego Charlesa Huttona wyrażenie współczynników wielomianu za pomocą pierwiastków (nie tylko dodatnich) zostało po raz pierwszy w pełni zrozumiane przez siedemnastowiecznego matematyka francuskiego Alberta Girarda; Hutton pisze: …[Girard był] pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną metodę tworzenia współczynników potęg z sum pierwiastków i ich iloczynów. Był pierwszym, który odkrył zasady sumowania potęg pierwiastków dowolnego równania.
W duchu tym wyróżnik należy postrzegać jako symetryczną funkcję pierwiastków odzwierciedlającą ich własności – jest on równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastek wielokrotny, a dla wielomianów kwadratowych i sześciennych jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ich pierwiastki są rzeczywiste i różne oraz ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para różnych sprzężonych pierwiastków zespolonych.
Równania sześcienne
Ogólne rozwiązanie równań sześciennych zostało częściowo podane przez żyjącego na przełomie XV i XVI wieku matematyka włoskiego Scipione del Ferrę; nie opublikował on jednak swoich wyników – jego metoda dawała rozwiązanie tylko dla jednej z trzech klas tych równań, które nie wymagają brania pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Należy jednak zaznaczyć, że nie znano jeszcze wówczas liczb zespolonych. Rozwiązanie to zostało niezależnie odkryte na nowo w 1535 roku przez Niccolò Fontanę Tartaglię, który podzielił się tym sekretem z Gerolamo Cardano prosząc go o jego niepublikowanie. Cardano rozszerzył otrzymane rozwiązanie o dwa pozostałe przypadki wykorzystując jako kroki pośrednie pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych; zob. metoda Cardano. Po odkryciu prac Ferra stwierdził on, że metoda Tartaglii nie jest już więcej tajemnicą, dlatego opublikował pełne rozwiązanie w pracy z 1545 roku pt. Ars Magna. Jego student Lodovico Ferrari podał rozwiązania dla wielomianów czwartego stopnia, które Cardano zawarł w swoim Ars Magna.
Kolejnym kamieniem milowym była praca francusko-włoskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange’a z 1770 roku zatytułowana Réflexions sur la résolution algébrique des équations, w której korzystając z opracowanej przez siebie metody znanej dziś jako rezolwenty Lagrange’a analizował on rozwiązania Cardano i Ferrariego dla równań trzeciego i czwartego stopnia poprzez wyrażanie ich jako permutacji pierwiastków. Poprzez wprowadzenie pomocniczego wielomianu trzeciego stopnia podejście to umożliwiło całościowe traktowanie rozwiązań, co niejako położyło podwaliny pod teorię grup i teorię Galois. Należy zaznaczyć, że Lagrange nie rozpatrywał złożeń permutacji. Ponadto metoda Lagrange’a nie obejmowała równań piątego stopnia i wyższych, gdyż rezolwenta ma wtedy wyższy stopień.
Równania piątego stopnia
Fakt, iż nie można podać ogólnego rozwiązania równań piątego stopnia wyrażonych przez pierwiastniki, został nieomalże dowiedziony przez Paolo Ruffiniego w 1799 roku: kluczem było wykorzystanie grup permutacji, a nie tylko pojedynczej permutacji. Rozwiązanie przez niego podane zawierało lukę, którą Cauchy uważał za możliwą do uzupełnienia; mimo wszystko nie udało się jej usunąć nikomu, aż do 1824 roku, kiedy to norweski matematyk Niels Henrik Abel opublikował dowód twierdzenia znanego dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego.
Choć Ruffini i Abel dowiedli, że ogólne rozwiązanie równań piątego stopnia nie istnieje, to jednak istnieją szczególne rozwiązania pewnych równań piątego stopnia; przykładem może być wielomian Dokładne kryterium określające rozwiązalność danego wielomianu piątego lub wyższego stopnia zostało sformułowane przez Évariste’a Galois w 1830 roku, który pokazał, że rozwiązalność wielomianu jest równoważna temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków ma określoną strukturę – w języku współczesnym: czy jego grupa Galois jest rozwiązalna. Grupa ta jest zawsze rozwiązalna dla wielomianów stopnia czwartego i mniejszych, jednak nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i wyższych, co tłumaczy, dlaczego nie istnieją ogólne rozwiązania równań wyższych stopni.
Teoria Galois
Twórcy teorii, Abel i Galois, zwracali uwagę na znaczenie ich odkryć dla teorii funkcji zespolonych, np. funkcji eliptycznych; później okazało się, że mieli rację: odpowiednie grupy Galois niezależnie zdefiniowano topologicznie, jako grupy przekształceń nakrywających rozgałęzionych nakryć sfery.
Teoria Galois, a właściwie prace Galois, Abela i Ruffiniego nie znalazły szerokiego oddźwięku wśród współczesnych, co było zarówno kwestią mody (brak zainteresowania matematyką dyskretną), jak i zwięzłości stylu oraz krótkiego życia twórców. Teoria Galois uzyskała rozgłos dzięki Josephowi Liouville’owi, który wydał prace Galois i Camille’owi Jordanowi, a głównie jego Traité des substitutions et des équations algebraique z 1870 roku. Jordan podjął badania tam, gdzie zakończyła je śmierć Galois, co umożliwiło dalszy rozwój teorii grup.
Teoria Galois podlegała dalszemu rozwojowi w XX wieku, np. opracowano teorię Galois dla pierścieni, znalazła także szereg zastosowań w teorii liczb algebraicznych, teorii algebr nad ciałami, w geometrii algebraicznej; rozwinęły się z niej nowe dziedziny, np. kohomologie Galois. W samej teorii Galois wciąż intensywnie badane jest na przykład zagadnienie odwrotne teorii Galois.
Podejście klasyczne Może się zdarzyć, że dla danego wielomianu niektóre z jego pierwiastków związane są ze sobą różnego rodzaju równaniami algebraicznymi. Przykładowo może okazać się, że dla dwóch spośród jego pierwiastków oznaczanych dalej i spełnione jest równanie Zasadniczą ideą teorii Galois jest rozpatrywanie tych permutacji (uporządkowań) pierwiastków, dla których dowolne równanie algebraiczne spełniane przez te pierwiastki jest nadal spełniane po zmianie uporządkowania pierwiastków. Istotne jest zastrzeżenie ograniczenia się do równań algebraicznych o współczynnikach wymiernych (można również określić pewne ciało, do którego powinny należeć współczynniki, lecz w poniższych prostych przykładach wykorzystywane będzie ciało liczb wymiernych).
Permutacje te tworzą razem grupę permutacji nazywaną grupą Galois wielomianu (nad liczbami wymiernymi). Wyjaśnione to zostanie w przykładzie.
Przykład: równanie kwadratowe Niech dane będzie równanie kwadratowe
Rozwiązując je znajduje się dwa pierwiastki
Równaniami algebraicznymi spełnianymi przez i są m.in.
oraz
Oczywiście zamieniając w dowolnym z powyższych równań kolejność pierwiastków i uzyskuje się inne prawdziwe zdanie. Przykładowo staje się po prostu Co więcej, choć jest to mniej oczywiste, że jest tak dla każdego równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych spełnianego przez pierwiastki i dowiedzenie tego wymaga teorii wielomianów symetrycznych.
Można więc wnosić, że grupa Galois wielomianu składa się z dwóch permutacji: permutacji tożsamościowej, która pozostawia i niezmienionymi oraz permutacja transponująca, która zamienia i Jest to grupa cykliczna rzędu dwa, jest więc izomorficzna z
Można by przypuszczać, iż i związane są ze sobą jeszcze jednym równaniem algebraicznym,
które nie jest spełnione przy zamianie i Równanie to nie jest jednak istotne, gdyż nie ma ono współczynników wymiernych; w szczególności liczba jest niewymierna.
Podobnie ma się rzecz z dowolnym wielomianem kwadratowym gdy są liczbami wymiernymi. Jeżeli wielomian ma tylko jeden pierwiastek, np. to grupa Galois jest trywialna, tzn. zawiera wyłącznie permutację tożsamościową. Jeżeli ma on dwa różne wymierne pierwiastki, przykładowo to grupa Galois znowu jest trywialna. Jeżeli ma ona dwa niewymierne pierwiastki (także, gdy są one zespolone), to grupa Galois zawiera dwie permutacje, jak w powyższym przykładzie.
Przykład: równanie dwukwadratowe Zadaniem jest opisanie grupy Galois, znowu nad ciałem liczb wymiernych, wielomianu
który może być zapisany jako
Ma on cztery pierwiastki:
Istnieją 24 sposoby ich uporządkowania, jednak nie wszystkie z tych permutacji należą do grupy Galois. Elementy grupy Galois muszą zachowywać dowolne równanie algebraiczne o współczynnikach wymiernych zawierające Jednym z nich jest
Jednakże ponieważ
to permutacja
nie jest dozwolona: przekształca ona poprawne równanie w nieprawidłowe równanie
Innym równaniem, które spełniają pierwiastki jest
Wyklucza ona kolejne permutacje, takie jak np.
Kontynuując w ten sposób okazuje się, że jedynymi permutacjami (spełniającymi jednocześnie oba równania) są
w ten sposób grupa Galois jest izomorficzna z czwórkową grupą Kleina.
Podejście współczesne
We współczesnym podejściu wychodzi się od rozszerzenia ciała (czytaj: L przez K) i bada grupę automorfizmów ciała są to odwzorowania postaci gdzie dla wszystkich należących do Obserwując punkty stałe wspomnianych automorfizmów bada się w istocie najmniejsze rozszerzenie ciała, w którym dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. ma wszystkie pierwiastki).
Związek między tymi dwoma podejściami jest jak następuje. Współczynniki badanego wielomianu powinny być wybrane z ciała bazowego Ciało nakrywające powinno być ciałem uzyskanym poprzez dołączenie pierwiastków badanego wielomianu do ciała bazowego. Każda permutacja pierwiastków spełniających równania algebraiczne, jak to opisano wyżej, odpowiada pewnemu automorfizmowi (i na odwrót).
W pierwszym z powyższych przykładów badano rozszerzenie gdzie jest ciałem liczb wymiernych, zaś jest ciałem uzyskanym z poprzez dołączenie W drugim przypadku badano rozszerzenie
Istnieje kilka istotnych powodów, dla których dziś preferuje się raczej podejście współczesne, a nie klasyczne podejście opisane wyżej: Wyrażenie podstawowego twierdzenia teorii Galois jest istotnie prostsze.