Stożek – uogólnienie pojęcia stożka (nieograniczonego) znanego ze stereometrii na przestrzenie liniowo-topologiczne (najczęściej przestrzenie Banacha). Stożek w przestrzeni unormowanej jest szczególnym przypadkiem tzw. klinu. Kliny / stożki wyznaczają w pewien naturalny sposób praporządek / porządek w przestrzeni, przez co znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha.
Definicja W niniejszym artykule oznaczać będzie zawsze rzeczywistą przestrzeń liniowo-topologiczną.
Niepusty zbiór domknięty nazywamy klinem (w przestrzeni ), gdy dla każdych oraz
oraz
Ponadto, klin nazywamy stożkiem, gdy spełniony jest warunek
Przestrzenie liniowo-topologiczne uporządkowane przez stożki Jeśli jest klinem w przestrzeni to relacja dana warunkiem
jest praporządkiem. Ponadto, jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest stożkiem. Praporządek wyznaczony przez klin ma dodatkowo następujące własności:
Przykłady Zbiór jest stożkiem. Jeśli jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni to jest ona klinem, ale nie jest stożkiem. Jeżeli jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni to zbiór jest klinem. Część wspólna dowolnej rodziny klinów (w danej przestrzeni) jest klinem. Przypomnijmy, że jeżeli jest zbiorem niepustym, to symbolem oznaczamy przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań z normą supremum. Zbiór zdefiniowany niżej, jest stożkiem w tej przestrzeni:
Jeżeli jest niepustym, domkniętym, ograniczonym zbiorem wypukłym takim, że to zbiór jest stożkiem o niepustym wnętrzu.
Bibliografia Jonathan M. Borwein; James V. Burke; Adrian S. Lewis: Differentiability of cone-monotone functions on separable Banach space, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), s. 1067–1076 . Karol Baron, Peter Volkmann: Characterization of the absolute value of complex linear functionals by functional equations, 10 pp., 2006-11-03.
Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne