thumb|Wartości symbolu Leviego-Civity w prawoskrętnym układzie współrzędnych. thumb|Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3. thumb|Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1). Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:
Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullia Leviego-Civity. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.
Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:
W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:
gdzie jest -tym wektorem bazy kontrawariantej.
Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia .
Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:
Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:
Wektory możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:
Ponieważ wektory są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru możemy napisać:
Jeśli wykorzystamy związek , i że wektory są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z możemy napisać następująco:
Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:
Dowód twierdzenia opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.
Dowód twierdzenia też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór .
Przykłady z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć oraz w powyższej definicji), gdyż jest parzystą permutacją gdyż jest parzystą permutacją gdyż jest nieparzystą permutacją
Zobacz też konwencja sumacyjna Einsteina permutacja tensor
Kategoria:Wyznaczniki