Podpierścień – podzbiór pierścienia, sam będący pierścieniem ze względu na działania indukowane z pierścienia wyjściowego.
Dokładne znaczenie pojęcia podpierścienia bardzo często wynika z dokładnego kontekstu: zwykle wymaga się, aby podpierścień był obiektem tej samej kategorii co pierścień, a wszystkie odstępstwa najczęściej są zaznaczane. W ten sposób od podpierścieni definiowanych względem pierścienia z jedynką wymaga się często, aby same miały one jedynkę (nie jest to jednak regułą; lecz często przyjmowanym zwyczajem).
Niektóre własności pierścieni są dziedziczne dla podpierścieni (bez względu na ich dokładną definicję) — własnościami takimi są np. przemienność, czy też brak dzielników zera (tzn. podpierścienie pierścienia przemiennego są przemienne; podobnie, zachowywany jest brak dzielników zera).
Definicja Niech będzie pierścieniem. Podzbiór zbioru jest podpierścieniem pierścienia , jeżeli jest on jednocześnie zamknięty ze względu na działania: dodawania (), mnożenia (), oraz ze względu na branie elementu przeciwnego względem dowolnego elementu (element przeciwny do oznaczamy wtedy: ).
Uwaga. Równoważnie, powiemy, że podzbiór zbioru jest podpierścieniem pierścienia , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych elementów , zachodzić mają jednocześnie:
oraz: .
Uwaga. Równoważnie, podpierścieniem pierścienia nazywa się algebrę ogólną , gdzie , przy czym oraz oznaczają zawężenia odpowiednich działań pierścienia , do zbioru .
Uwaga. Podzbiór nie może być pusty, ponieważ musi być podgrupą , zatem musi zawierać element neutralny dodawania (zero).
Związek z ideałami Ideał właściwy nie może być podpierścieniem, jeśli wymaga się, by miał jedynkę, gdyż musiałby być on wtedy całym pierścieniem. Przykładowo, ideały w są postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Są one podpierścieniami wtedy i tylko wtedy, gdy (w innych przypadkach nie zawierają jedynki), kiedy to są całym
Jeżeli pominąć wymaganie, aby pierścienie miały jedynkę, to podpierścienie muszą zawierać wyłącznie zero oraz być zamknięte ze względu na odejmowanie i mnożenie – w ten sposób ideały stają się podpierścieniami. Ideały mogą, ale nie muszą mieć własnej jedynki (różnej od jedynki pierścienia): ideał pierścienia z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych ma jedynkę , która jest różna od jedynki pierścienia. W ten sposób jest pierścieniem z jedynką, a zarazem „podpierścieniem bez jedynki” pierścienia ; ideały właściwe (np. liczby parzyste ) nie mają jedynki.
Przykłady
Pierścień liczb całkowitych jest podpierścieniem zarówno dla ciała liczb rzeczywistych ; jak też i dla pierścienia wielomianów . Grupa , podobnie jak grupy ilorazowe , nie posiadają żadnych podpierścieni (z jedynką), innych niż cały pierścień. Każdy pierścień posiada jedyny podpierścień najmniejszy, będący zarazem izomorficznym do pewnego pierścienia , gdzie to pewna nieujemna liczba całkowita (zobacz też: charakterystyka). W niniejszym wysłowieniu, zbiór odpowiada wartości ; jako że zbiór jest izomorficzny z pierścieniem . W ciele (pierścieniu) liczb rzeczywistych istnieje podpierścień izomorficzny z ciałem (pierścieniem) liczb wymiernych. Podobnie w pierścieniu liczb wymiernych istnieje podpierścień izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych. Jeśli jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to jest podpierścieniem ciała liczb zespolonych.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Podzbiory pierścieni Kategoria:Podalgebry