Nimliczby – liczby porządkowe ze specjalnie zdefiniowanymi działaniami wprowadzone dla określenia wielkości stosów w grze nim, ale zastosowane do szerszej klasy gier dzięki twierdzeniu Sprague’a-Grundy’ego.
Rekurencyjna definicja dodawania nimliczb wygląda następująco:
(dla liczb naturalnych n ⊕ m oznacza n xor m)
zaś mnożenia:
gdzie mex oznacza najmniejszą liczbę porządkową nieobecną w danym zbiorze.
Nimliczby spełniają warunki z definicji ciała algebraicznie domkniętego, poza tym, że nie są zbiorem. Zbiory nimliczb skończonych mniejszych od są ciałami skończonymi.
Ujęcie intuicyjne Nimliczby można oznaczać kolorem czerwonym. Dodawanie i mnożenie nimliczb, tak jak zwykłych liczb, są łączne i przemienne, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Reguły dodawania: Suma dwu równych nimliczb wynosi 0. Jeżeli większa z dwóch nimliczb odpowiada potędze dwójki (1, 2, 4, 8, 16, 32...) to dodaje się je według takich zasad, jak zwykłe liczby. dodawanie jest przemienne i łączne.
Dodawanie nimliczb odpowiada operacji XOR na cyfrach ich rozwinięcia dwójkowego.
Reguły mnożenia: Jeżeli większa z dwóch nimliczb jest typu 1, 2, 4, 16, 256, 65536, 4294967296..., to mnoży się je według takich zasad, jak zwykłe liczby. Jeżeli liczbę tego typu (z wyjątkiem 1) mnoży się przez siebie, to wynik jest równy sumie dwóch nimliczb: jej samej oraz części całkowitej jej połowy. Przykład: 7^2= 7 + część całkowita(7/2) = 7 + 3 = 4
Na przykład: 5 × 6 = (4 + 1) × (4 + 2) = (4 × 4) + (4 × 2) + (1 × 4) + (1 × 2) = 6 + 8 + 4 + 2 = 6 + 8 + 6 = 6 + 6 + 8 = 0 + 8 = 8
Potęgowanie odbywa się według zwykłych zasad, a wykładnik jest zwykłą liczbą. a³ = a × a × a
Okazuje się, że 2² = 3 44 = 5 1616 = 17 256256 = 257 itp.
Można też mówić o nieskończonych nimliczbach, np. ω³ = 2 (ω + 6) + (ω + 3) + 5 = 0
W innym ujęciu: a ⊕ b = b ⊕ a a ⊙ b = b ⊙ a (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) a ⊙ (b ⊕ c) = a ⊙ b ⊕ a ⊙ c a ⊕ 0 = a a ⊕ a = 0 a ⊕ 2n = a + 2n jeżeli a < 2n a ⊙ 0 = 0 a ⊙ 1 = a a ⊙ 22n = a · 22n jeżeli a < 22n 22n ⊙ 22n = 3 · 22n-1
Można je też przedstawić jako neutralną grę Hackenbusha, co pozwala na rozgałęzianie.
Tabliczka dodawania i mnożenia Poniższe tabele przedstawiają dodawanie i mnożenie pierwszych 16 nimliczb. (Ten podzbiór jest podciałem, gdyż 16 jest postaci ).
+ Dodawanie nimliczb + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 2 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 3 3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 4 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 5 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 6 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9 7 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 8 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 9 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 10 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 11 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4 12 12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3 13 13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2 14 14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1 15 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
+ Mnożenie nimliczb × 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 0 2 3 1 8 10 11 9 12 14 15 13 4 6 7 5 3 0 3 1 2 12 15 13 14 4 7 5 6 8 11 9 10 4 0 4 8 12 6 2 14 10 11 15 3 7 13 9 5 1 5 0 5 10 15 2 7 8 13 3 6 9 12 1 4 11 14 6 0 6 11 13 14 8 5 3 7 1 12 10 9 15 2 4 7 0 7 9 14 10 13 3 4 15 8 6 1 5 2 12 11 8 0 8 12 4 11 3 7 15 13 5 1 9 6 14 10 2 9 0 9 14 7 15 6 1 8 5 12 11 2 10 3 4 13 10 0 10 15 5 3 9 12 6 1 11 14 4 2 8 13 7 11 0 11 13 6 7 12 10 1 9 2 4 15 14 5 3 8 12 0 12 4 8 13 1 9 5 6 10 2 14 11 7 15 3 13 0 13 6 11 9 4 15 2 14 3 8 5 7 10 1 12 14 0 14 7 9 5 11 2 12 10 4 13 3 15 1 8 6 15 0 15 5 10 1 14 4 11 2 13 7 8 3 12 6 9
Bibliografia John Horton Conway, Richard Kenneth Guy, Księga liczb, , s. 285–290.
Kategoria:Klasy liczb Kategoria:Teoria gier