Transwersala – zbiór powstały z wybrania po jednym elemencie ze zbiorów danej rodziny (wymaga się zwykle, aby wybrane elementy były parami różne, wtedy moc transwersali jest równa mocy rodziny).
W użyciu są różne definicje tego terminu. Najczęściej jest on używany w matematyce dyskretnej w znaczeniach podanych poniżej, ale występuje też poza tą dziedziną matematyki w nieco odmiennych, choć pokrewnych znaczeniach.
Definicja Niech będzie rodziną zbiorów. Transwersala rodziny zbiorów to taki zbiór że można wybrać bijekcję ze zbioru A na rodzinę która każdemu elementowi zbioru A przyporządkowuje pewien zbiór, do którego element ten należy. Tak więc A jest transwersalą rodziny jeśli istnieje funkcja taka, że oraz
Pojęcie transwersali wprowadza się również dla indeksowanych rodzin zbiorów pozwalając na ich powtórzenia w indeksowaniu. Niech będzie ciągiem (niekoniecznie różnych) zbiorów. Transwersala (system różnych reprezentantów) dla ciągu to taki ciąg różnowartościowy taki że dla wszystkich Robin J. Wilson: Wprowadzenie do teorii grafów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1985, s. 157–160. ..
Przykłady i własności Zbiór jest transwersalą dla rodziny
bowiem funkcja dana przez
jest bijekcją świadczącą o tym fakcie. Transwersale dla rodzin zbiorów parami rozłącznych są także nazywane selektorami z tych rodzin. Dla każdej skończonej rodziny parami rozłącznych zbiorów niepustych można wybrać selektor (transwersalę). Przy założeniu AC, każda rodzina parami rozłącznych zbiorów niepustych ma transwersale. Rozważmy zbiory oraz Wówczas zbiór jest systemem różnych reprezentantów dla ciągu Natomiast nie istnieje żadna transwersala dla Nawet rodziny zbiorów bez powtórzeń mogą nie mieć transwersali. Charakteryzacja skończonych rodzin (indeksowanych) dopuszczających transwersale jest dana przez twierdzenie o kojarzeniu małżeństw: Twierdzenie Halla Niech będzie skończonym ciągiem (niekoniecznie różnych) niepustych zbiorów skończonych. Wówczas ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych zbiorów zawiera przynajmniej elementów
Inne znaczenia terminu W geometrii, transwersala (prosta transwersalna) dla danej rodziny prostych to prosta przecinająca wszystkie proste z tej rodziny. Transwersala kwadratu łacińskiego rzędu n to wybór n pozycji w tym kwadracie w taki sposób, że w każdym wierszu i każdej kolumnie wybrano jedną pozycję oraz że każdy symbol pojawia się w jakiejś pozycji. W geometrii różniczkowej i topologii różniczkowej rozważa się przekroje transwersalne.
Przypisy
Kategoria:Teoria grup Kategoria:Kombinatoryka