thumb|200px|Pierwiastek kwadratowy z 2 jest równy długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o długości jednej jednostki.
Pierwiastek kwadratowy z liczby , (często pierwiastek [arytmetyczny] z ), – dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy liczbie 2. Jest to więc przykład liczby algebraicznej stopnia 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok).
Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (patrz dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku wynosi 1,414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990…
Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10 000.
Historia
thumb|200px|Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 z adnotacjami. Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnychFowler and Robson, s. 368.Zdjęcia wysokiej rozdzielczości, opisy i analiza tabliczki root(2) (YBC 7289) z Yale Babylonian Collection.:
Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800–200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci”Henderson., co daje
To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z
Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (patrz Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienieStephanie J. Morris, „The Pythagorean Theorem”, Dept. of Math. Ed., University of Georgia.Brian Clegg, „The Dangerous Ratio…”, Nrich.org, November 2004.Kurt von Fritz, „The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum”, Annals of Mathematics, 1945..
Niewymierność
Liczba jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci gdzie są liczbami całkowitymi (ponieważ to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych ). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost.
Dowód geometryczny thumb|Ilustracja do geometrycznego dowodu niewymierności pierwiastka z 2. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości przeciwprostokątnej do długości dowolnej przyprostokątnej ( lub ) w równoramiennym trójkącie prostokątnym wynosi
Dowód. Załóżmy najpierw nie wprost, że jest wielkością (liczbą) wymierną, tzn. (bezpośrednio z definicji ...) istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby , , dla których , przy czym liczby , są względem siebie: względnie pierwsze (tj. ich największy wspólny dzielnik, to dokładnie ).
Przedłużając odcinek do odcinka o długości oraz odkładając na boku odcinek o długości otrzymuje się wraz z punktami również punkt będący punktem przecięcia odcinków oraz Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne oraz podobne do o przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnych
Ponieważ to nieujemne długości oraz są mniejsze odpowiednio od oraz i również spełniają (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż nie może być liczbą wymierną.
Dowód arytmetyczny Dowód. Załóżmy nie wprost, że jest liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne oraz że przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.
Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą parzystą, to i jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzystaTwierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą parzystą.Dowód: (→) Jeśli jest parzysta, to równość oznacza, iż jest parzysta, gdyż jest liczbą naturalną jako ich iloczyn. (←) Dowód nie wprost: skoro jest nieparzysta, to co oznacza, że jest nieparzysta jako suma liczby parzystej oraz jedności.; stąd dla pewnej liczby naturalnej Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje zatem tj. co oznacza, że liczba a stąd także jest parzysta.
Skoro są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.
Własności thumb|Przekrój Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z 2. Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne
Liczba ta spełnia
Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:
gdyż Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.
Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:
Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i, wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:
Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.
Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:
dla pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania.
Reprezentacje Przedstawienia Dwójkowo 1,0110101000001001111… Dziesiętnie 1,4142135623730950488… Szesnastkowo 1,6A09E667F3BCC908B2F… Ułamek łańcuchowy
Tożsamość przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności
i
lub równoważnie,
Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla daje
Szereg Taylora z dla i silnia podwójna daje
Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci
Nie wiadomo, czy może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla i .
Przybliżenia
O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą πLiczba znanych cyfr.. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska”Mimo że określenie „metoda babilońska” jest w ogólnym użyciu, nie ma przesłanek wskazujących jak Babilończycy obliczyli przybliżenie odczytane z tabliczki YBC 7289. Fowler i Robson proponują informacje i szczegółowe domysły (Fowler i Robson, s. 376. Flannery, s. 32, 158). obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący: wybrać liczbę początkową która ma wpływ jedynie na liczbę iteracji niezbędną do osiągnięcia przybliżenia z żądaną dokładnością; wykonać kolejne obliczenia rekurencyjne:
Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie daje następujące przybliżenia
W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin, używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięcihttp://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation..
Zastosowania Format papieru
thumb|left|320px|Cztery linie: cztery etapy konstrukcji arkusza o standardowych wymiarach za pomocą cyrkla i ekierki. Jeśli wymiar d wynosi 21 cm, to otrzymany prostokąt ma wymiary arkusza A4. thumb|Stosunek długości do szerokości arkusza jest dobrym przybliżeniem √2. Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane, żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe, tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.
{| class="wikitable centre" style="text-align:center" |+ Przybliżone wymiary A0-A4 wyrażone w √2. W praktyce, wymiary są zaokrąglone. ! Format || Długość [m] || Szerokość [m] || Powierzchnia [m²] |- | A0 || || || |- | A1 || || || |- | A2 || || || |- | A3 || || || |- | A4 || || ||
Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik ⁴√2 (~ 1,19) i ⁸√2 (~ 1,09).
Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)n. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2n kopii/stron na arkusz.
Muzyka
System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób: stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 21/12.
{| class="wikitable" |+ Stosunek częstotliwości nuty w gamie równomiernie temperowanej do częstotliwości najniższej nuty w gamie. |- |style="width: 3em"| do |style="width: 3em"| do♯ |style="width: 3em"| re |style="width: 3em"| re♯ |style="width: 3em"| mi |style="width: 3em"| fa |style="width: 3em"| fa♯ |style="width: 3em"| sol |style="width: 3em"| sol♯ |style="width: 3em"| la |style="width: 3em"| la♯ |style="width: 3em"| si |style="width: 3em"| do |- |1 |21/12 |21/6 |21/4 |21/3 |25/12 |√2 |27/12 |22/3 |23/4 |25/6 |211/12 |2
W tym systemie, kwarta zwiększona (do–fa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi
Elektryczność
Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230 V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez
Zobacz też historia liczb metody obliczania pierwiastka kwadratowego pierwiastek kwadratowy pierwiastek kwadratowy z 3 pierwiastek kwadratowy z 5 pierwiastkowanie
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Stałe oparte na pierwiastkach kwadratowych