thumb thumb|Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota
Zasada CavalieriegoOdmieniamy Cavalier i ego, patrz – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że: Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.
Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.
Wstępne definicje Niech będą takimi liczbami naturalnymi, że Wówczas można dokonać utożsamienia:
Niech oraz oznacza element przestrzeni Zbiory
nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu ) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu ) zbioru
Niech ponadto
tzn. są rzutowaniami zbioru na przestrzenie, odpowiednio, i Symbolami oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio, i -wymiarowej miary Lebesgue’a
Zasada Cavalieriego Jeśli to dla prawie wszystkich zbiór jest mierzalny w sensie -wymiarowej miary Lebesgue’a, funkcja jest mierzalna,
Jeżeli ponadto, to
Komentarze Cięcia są mierzalne dla prawie wszystkich Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe jest zawarte w sposób właściwy w tzn. istnieją takie zbiory postaci gdzie że zbiór lub zbiór nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.
Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.
Zobacz też twierdzenie Fubiniego twierdzenie Guldina
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Analiza matematyczna