Algebraiczna teoria liczb – dział teorii liczb, w którym do badania własności liczb (przede wszystkim liczb wymiernych i całkowitych) oraz ich uogólnień wykorzystuje się zaawansowane narzędzia algebry abstrakcyjnej, takie jak teoria pierścieni, teoria grup, teoria Galois czy algebra przemienna.
W przeciwieństwie do elementarnej teorii liczb, która skupia się na podstawowych własnościach zbioru liczb całkowitych, algebraiczna teoria liczb operuje na szerszych strukturach algebraicznych, w szczególności ciałach liczbowych i ich pierścieniach całkowitych.
Historia Początki algebraicznej teorii liczb sięgają XIX wieku i prac takich matematyków jak Carl Friedrich Gauss, Ernst Kummer, Richard Dedekind czy David Hilbert, którzy rozwijali teorię w odpowiedzi na próby udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata oraz badania praw wzajemności.
W XX wieku znaczący wkład w rozwój dziedziny wniosła polska szkoła matematyczna:
Wacław Sierpiński – kładł nacisk na rygorystyczną aksjomatyzację i rozwój arytmetyki teoretycznej; autor prac dotyczących teorii liczb pierwszych i liczb niewymiernych. Andrzej Schinzel – teoretyk, autor m.in. (uogólniającej problemy dotyczące liczb pierwszych na rodziny wielomianów). Przez wiele lat pełnił funkcję redaktora naczelnego czasopisma „Acta Arithmetica”, periodyku poświęconego teorii liczb, wydawanego przez Instytut Matematyczny PAN. Władysław Narkiewicz – autor monografii Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, stanowiącej kompendium wiedzy łączące podejście algebraiczne i analityczne. Badania nad strukturami algebraicznymi oraz rozszerzeniami ciał prowadzili również m.in. Stanisław Ulam (łączący teorię z wizualizacją i statystyką) oraz Jerzy Browkin (autor monografii Teoria ciał).
Podstawowe pojęcia Podstawową strukturą badaną w algebraicznej teorii liczb jest ciało liczbowe, definiowane jako skończone rozszerzenie ciała liczb wymiernych . Przykładowymi ciałami liczbowymi są ciała kwadratowe, np. .
Wewnątrz każdego ciała liczbowego bada się odpowiadający mu pierścień liczb całkowitych algebraicznych. Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu niezerowego o współczynnikach wymiernych. Jeśli dodatkowo wielomian ten jest moniczny (współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1) i ma współczynniki całkowite, liczbę tę nazywa się całkowitą algebraiczną.
Problem jednoznaczności rozkładu i ideały Jednym z centralnych zagadnień algebraicznej teorii liczb jest problem braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w niektórych pierścieniach liczb całkowitych algebraicznych. Na przykład w pierścieniu liczba 6 może zostać rozłożona na dwa nierównoważne sposoby:
Aby przezwyciężyć ten problem, w XIX wieku wprowadzono pojęcie ideału. W pierścieniach Dedekinda – które stanowią model dla pierścieni całkowitych w ciałach liczbowych – chociaż elementy mogą nie mieć jednoznacznego rozkładu na elementy pierwsze, to każdy niezerowy ideał właściwy można jednoznacznie zapisać jako iloczyn ideałów pierwszych. Miary odchylenia pierścienia od bycia dziedziną z jednoznacznością rozkładu dostarcza struktura zwana grupą klas ideałów.
Zaawansowane konstrukcje W nowoczesnej algebraicznej teorii liczb wykorzystuje się struktury globalne i lokalne do badania własności ciał. Kluczowe znaczenie ma m.in.:
– topologiczne uzupełnienie ciała liczbowego względem wszystkich jego wartościowań (archimedesowych i -adycznych), co pozwala na stosowanie analizy harmonicznej w teorii liczb. Grupa ideli – grupa elementów odwracalnych pierścienia adeli, stanowiąca fundament teorii ciał klas, która opisuje abelowe rozszerzenia danego ciała.
Zastosowania Współcześnie algebraiczna teoria liczb stanowi fundament nowoczesnego bezpieczeństwa cyfrowego:
Kryptografia klucza publicznego: Algorytmy takie jak RSA bazują na trudności faktoryzacji dużych liczb całkowitych, do czego stosuje się algorytmy z algebraicznej teorii liczb (np. sito ciała liczbowego – NFS). Protokół Diffiego-Hellmana i ECC: Wymiana kluczy i podpisy cyfrowe opierają się na trudności obliczenia logarytmu dyskretnego w skończonych grupach cyklicznych oraz na krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi. Kryptografia postkwantowa: W odpowiedzi na zagrożenie ze strony komputerów kwantowych (które dzięki algorytmowi Shora mogłyby złamać standardy RSA i ECC), bada się obecnie rozwiązania z zakresu kryptografii opartej na kratach (silnie powiązanej z geometryczną teorią liczb) oraz kryptografii wielu zmiennych nad ciałami skończonymi.
Zobacz też Analityczna teoria liczb Teoria Galois Ciało (matematyka)
Przypisy
Bibliografia
Andrzej Schinzel, publikacje i redakcje w Acta Arithmetica, Instytut Matematyczny PAN.
Linki zewnętrzne
Kategoria:Algebraiczna teoria liczb