Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna) – kryterium użyteczne dla badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Kryterium to, dla pewnego szczególnego przypadku charakterystyki rozważań, pozwala stwierdzić nierozkładalność dla wielomianu spełniającego szczególne zadane w kryterium warunki, w ramach pewnego pierścienia, związanego z odpowiednim ciałem ułamków. Początkowo sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem był niemiecki matematyk Theodor SchönemannJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ; s. 222–223., który udowodnił je w 1846Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 316..
Twierdzenie Niech będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech będzie jego ciałem ułamków. Niech
będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia . Jeśli istnieje element pierwszy taki, że oraz
to wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu .
Szczególny przypadek Jeśli jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.
Przykłady Wielomian jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla Jeśli jest liczbą pierwszą, to wielomian
jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,
gdzie oznacza symbole Newtona, na przykład
Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez ale nie dzieli zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
[dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Twierdzenia o wielomianach