mały|372x372px|Konstrukcja prostej krzywej pogoni
Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.
Prosta krzywa pogoni Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.
Definicja Niech będzie punktem startowym „ściganego”, a punktem startowym „ścigającego”.
Niech punkt porusza się ruchem jednostajnym z prędkością w jakimś kierunku, a punkt z prędkością zawsze w kierunku punktu Wówczas tor punktu to prosta krzywa pogoni.
Niech
thumb|350px|Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k
Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych Niech i porusza się wzdłuż osi dla dla
Wyprowadzenie W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:
co prowadzi do równania różniczkowego:
gdzie
Z wynika:
po zróżniczkowaniu po
Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:
Z wynika, że:
Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po
Rozwiązanie po podstawieniu
prowadzi do:
po scałkowaniu:
a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z otrzymuje się:
Ponownie całkuje się, ze stałą Z warunku brzegowego:
wynika więc z
wynika: względnie dla
czyli:
skąd wynikają wzory podane na początku.
Wyrażenie zależności odwrotnej nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.
Zobacz też
lista krzywych
Linki zewnętrzne
Pursuit Curve , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Rodzaje krzywych