Rozkład Poissona (czytaj [], także prawo Poissona małych liczb) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej , która przyjmuje wartości nieujemne całkowite i opisuje liczbę zdarzeń zachodzących w ustalonym przedziale czasu lub określonym obszarze przestrzeni . Rozkład Poissona jest scharakteryzowany przez jeden dodatni parametr , który określa wartość oczekiwaną (średnią liczbę zdarzeń) oraz wariancję w danym przedziale. Model ten opiera się na tzw. postulatach Poissona, zgodnie z którymi liczba zdarzeń w rozłącznych podprzedziałach jest niezależna, a prawdopodobieństwo ich wystąpienia w małym podprzedziale jest proporcjonalne do jego długości.
Rozkład ten znajduje zastosowanie wszędzie tam, gdzie zlicza się wystąpienia zdarzeń w identycznych jednostkach czasu , powierzchni () lub objętości (), przy zachowaniu założeń o niezależności i stałej intensywności. Stosuje się go w szczególności do opisu zdarzeń rzadkich, wykazujących charakterystyczne fluktuacje, których klasycznym przykładem jest rozpad promieniotwórczy jąder atomowych.
Rozkład Poissona można otrzymać jako graniczny przypadek rozkładu dwumianowego przy dużej liczbie prób i małym prawdopodobieństwie sukcesu.
Wraz ze wzrostem parametru (duża liczba zliczeń), rozkład Poissona wykazuje tendencję do symetrii i staje się zbieżny z rozkładem normalnym.
Rozkład ten został wprowadzony przez Siméona-Denisa Poissona (1781–1840) wraz z jego teorią prawdopodobieństwa w 1838 roku i opublikowany w 1838 roku w pracy Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile („Badania nad prawdopodobieństwem orzeczeń sądowych w sprawach cywilnych i karnych”). W pracy tej analizowano m.in. zmienne losowe opisujące liczbę dyskretnych zdarzeń zachodzących w przedziale czasu o ustalonej długości.
Funkcja masy prawdopodobieństwa Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona ma postać:
gdzie: – wartość oczekiwana, średnia liczba zdarzeń w danym przedziale czasu lub przestrzeni (liczba rzeczywista dodatnia), – liczba zdarzeń w tym przedziale; – silnia liczby – liczba e
Oznaczenia Jeżeli zmienna losowa ma rozkład Poissona z parametrem , można zastosować zapis symboliczny:
Testowanie zgodności z rozkładem Poissona Testowanie zgodności z rozkładem Poissona służy zweryfikowaniu hipotezy zerowej zakładającej, że obserwowane dane (zliczenia zdarzeń) pochodzą z populacji o takim właśnie rozkładzie. Najpowszechniej stosowany test chi-kwadrat polega na porównaniu liczebności zaobserwowanych z liczebnościami oczekiwanymi , wyznaczonymi teoretycznie dla każdej kategorii zliczeń. W przypadku rozkładu Poissona wartości teoretyczne oblicza się mnożąc sumaryczną liczbę obserwowanych zdarzeń przez prawdopodobieństwa rozkładu Poissona.
Klasyczny przykład pomiaru rozkładu Poissona związanego z procesami losowymi zachodzącymi w czasie pokazano poniżej dla zjawiska emisji cząstek . Przykład rozkładu Poissona dla zjawisk o rozkładzie losowym na małych fragmentach powierzchni, na jakie podzielono obserwowanej zawiesiny komórek drożdży omawia tekst test chi-kwadrat-Przykład 4.
Można również wykorzystać statystykę opartą na indeksie dyspersji, która weryfikuje charakterystyczną dla tego modelu równość średniej i wariancji.
Przykład: Pomiar rozkładu prawdopodobieństwa emisji cząstek
Jeżeli substancja promieniotwórcza emituje cząstki , to liczba cząstek wpadających do licznika Geigera w ustalonym, krótkim przedziale czasu jest losowa i może przybierać różne wartości w kolejnych pomiarach. Jednak powtarzając pomiary okaże się, że częstości zdarzenia polegającego na wpadnięciu k cząstek do licznika w przedziale czasu stabilizują się.
Ernest Rutherford oraz Hans Geiger w 1910 roku wykonali doświadczenie, w którym rejestrowali liczbę cząstek emitowanych przez substancję promieniotwórczą. Wyniki tego eksperymentu posłużyły za empiryczny dowód na to, że rozpad jądrowy podlega prawom rozkładu Poissona. Badacze rejestrowali liczbę cząstek w przedziałach czasowych, z których każdy trwał dokładnie sekundy. Całkowity czas pomiaru wynosił więc godziny. Poniższa tabela zestawia liczby rejestrowanych cząstek , odpowiadającą im obserwowaną częstość ich wystąpienia oraz teoretyczną częstość wystąpienia , wynikającą z dopasowania matematycznego do rozkładu Poissona:
Wartości można obliczyć dopiero po obliczeniu parametru , co pokazano dalej. + Tabela: Częstości obserwowania cząstek w okresach 7,5 sekundy. – częstości oczekiwane wg rozkładu Poissona 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16 54,6 211 408 526 508 393 253 140 67,7 29,1 17
Estymacja parametru rozkładu Do opisu zjawiska stosuje się rozkład Poissona. Estymatorem parametru , reprezentującego średnią liczbę cząstek przypadających na jeden przedział czasu, jest średnia ważona z próby empirycznej:
Na podstawie tabeli obliczamy . Stąd:
Funkcja masy prawdopodobieństwa dla dopasowanego modelu przyjmuje postać:
Prawdopodobieństwo zdarzenia skumulowanego W celu określenia prawdopodobieństwa zaobserwowania maksymalnie 5 cząstek w przedziale czasowym, należy obliczyć prawdopodobieństwo skumulowane dla :
Po zsumowaniu teoretyczne prawdopodobieństwo wynosi:
Oznacza to, że w około badanych przedziałach czasowych sekundy aparatura pomiarowa zarejestruje 5 lub mniej cząstek .
Test zgodności Pearsona Test zgodności Pearsona wykonujemy dla hipotezy, że dane pomiarowe mają rozkład Poissona. Statystyka testowa ma postać:
Częstości teoretyczne dla modelu Poissona obliczono ze wzoru.
używając estymowanej wartość średniej . Np.
Wszystkie wartości zestawiono w tabeli powyżej. Po podstawieniu danych z tabeli otrzymamy:
i ostatecznie
Liczba stopni swobody: ( — liczba klas, — warunek normalizacji, — liczba estymowanych parametrów rozkładu Poissona). Dla poziomu istotności wartość krytyczna wynosi .
Wniosek: Ponieważ , więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Dane są zgodne z rozkładem Poissona na poziomie istotności .
Stała rozpadu promieniotwórczego a stała rozkładu Poissona. Wnioski dotyczące zjawisk losowych Parametru rozkładu Poissona nie należy utożsamiać z stałą rozpadu promieniotwórczego. Choć obie wielkości często oznacza się tym samym symbolem, to jednak stała rozpadu oznacza prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego jadra atomu w czasie 1 sekundy; ma więc wymiar 1/sekunda. Stała w rozkładzie Poissona jest zaś bezwymiarowa i określa średnią liczbę cząstek rejestrowanych w przyjętym oknie czasowym i jest tym większa, im więcej jąder promieniotwórczych ma badana próbka oraz zależy od geometrii detektora (która określa, jaka część emitowanych przez substancję cząstek wpada przez okno pomiarowe detektora) i jego wydajności (określa, jaką część z cząstek wchodzących do detektora jest on w stanie zarejestrować), tj.
Oznaczając średnią liczbę cząstek rejestrowanych przez detektor w czasie jednej sekundzie otrzymamy
Prawdopodobieństwo rejestracji cząstek w czasie można więc wyrazić za pomocą średniej intensywności wzorem
Dla małych mamy . Stosując to przybliżenie do wzoru na dla odpowiednio małych wartości otrzymuje się a) Brak rozpadu ()
b) Jeden rozpad () (bo iloczyn jest pomijalnie mały. c) Dwa i więcej rozpadów ()
Interpretacja fizyczna W bardzo krótkim czasie :
albo nic się nie dzieje, albo zachodzi pojedynczy rozpad, zdarzenia wielokrotne są praktycznie niemożliwe.
To prowadzi do liniowej zależności:
i stanowi fundament przejścia do prawa rozpadu.
Założenia teoretyczne thumb|alt=Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.|Guma do żucia na chodniku. Liczba kawałków na pojedynczych płytach chodnikowych ma w przybliżeniu rozkład Poissona.|333x333pxJeśli więc obserwuje się w eksperymentach zjawiska losowe zgodne z rozkładem Poissona, to muszą one wynikać z wyżej sformułowanych prawidłowości, tj.:
Liczba zdarzeń losowych występujących w rozłącznych przedziałach czasu jest od siebie niezależna. Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie jednego zdarzenia w bardzo małym przedziale jest równe , gdzie reprezentuje średnią intensywność (liczbę zdarzeń na jednostkę). Jest niemal niemożliwe (prawdopodobieństwo jest pomijalnie małe), aby dwa lub więcej zdarzeń wystąpiło w wystarczająco małym przedziale czasu. Prawdopodobieństwo zaobserwowania określonej liczby zdarzeń w przedziale zależy wyłącznie od długości tego przedziału, a nie od momentu lub miejsca, w którym się on rozpoczyna.
Przykłady innych zjawisk modelowanych rozkładem Poissona Przykłady procesów losowych, które mogą być modelowane rozkładem Poissona: Liczba żołnierzy zabitych każdego roku przez kopnięcie konia w pruskich korpusach kawalerii. Przykład ten zyskał sławę dzięki publikacji Władysława Józefowicza Bortkiewicza z 1898. Liczba połączeń telefonicznych przychodzących do centrali w ciągu minuty. Liczba wypadków samochodowych dziennie na konkretnym odcinku drogi. Liczba błędów typograficznych na stronie książki. Liczba mutacji w danym odcinku DNA po ekspozycji na pewną dawkę promieniowania. Liczba cząstek wirusa lub bakterii, które trafiają do pojedynczej komórki. Własności Tw. 1 Rozkład prawdopodobieństwa jest unormowany do 1.
, cnd.
W przedostatnim kroku skorzystano z rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg potęgowy, tj. .
Tw. 2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Poissona
Tw. 3 Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie Poissona
Tw. 4 Wyższe momenty rozkładu Poissona są wielomianami Toucharda z parametrem których współczynniki mają kombinatoryczne znaczenie.
Tw. 5 Gdy wartość oczekiwana rozkładu Poissona jest równa 1, to wzór Dobińskiego mówi, że -ty moment jest równy liczbie podziałów zbioru -elementowego.
Tw. 6 Dominanta: gdy jest liczbą całkowitą, to dominanta ma wartości równe i ; gdy nie jest liczbą całkowitą, to dominanta jest równa , czyli jest największą liczbą całkowitą mniejszą lub równą (jest to tzw. funkcja podłoga). Tw. 7 Rozkład sumy zmiennych losowych o rozkładach Poissona: Jeśli niezależne zmienne losowe , mają rozkład Poissona z parametrami , to suma tych zmiennych losowych również ma rozkład Poissona, którego parametr jest sumą parametrów składowych, tj. oraz
Tw. 8 (odwrotne do podanego powyżej):
Jeśli suma dwóch niezależnych zmiennych losowych ma rozkład Poissona, to ma go również każda z tych dwóch niezależnych zmiennych losowych.
Tw. 9 Jeśli są obserwacjami z niezależnych rozkładów Poissona ze średnimi , przy czym są umiarkowanej wielkości (zalecane jest ) to suma znormalizowanych odchyleń kwadratowych tych zmiennych losowych ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat, tj.
Tw. 10 Funkcja generująca momenty rozkładu Poissona z wartością oczekiwaną ma postać
Tw. 11 Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe
Tw. 12 -ty moment silni rozkładu Poissona jest równy
Tw. 13 Rozkład Poissona jest nieskończenie podzielnym rozkładem prawdopodobieństwa.
Tw. 14 Bezpośrednia dywergencja Kullbacka-Leiblera pomiędzy i jest dana przez
Powiązania z innymi rozkładami Jeśli dwie zmienne i są niezależne, a to rozkład pod warunkiem jest dwumianowy, tj.
Ogólnie: Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi Poissona z parametrami to
Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem , to warunkowy rozkład wektora zmiennych pod warunkiem jest rozkładem wielomianowym z liczbą prób równą i prawdopodobieństwami poszczególnych kategorii równymi . Jeśli i to różnica ma rozkład Skellama.