Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.

Postać formalna Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i Formalnie:

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych i Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną i i oznaczamy Warto zaznaczyć, że jeśli , to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.

Związek z innymi aksjomatami ZF W teorii Zermela

Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech , , będą takie, że

Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wycinania. Mianowicie rozważmy predykat:

wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór , który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek

a zatem .

W teorii Zermela-Fraenkla

Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności.

Rozważmy dowolne zbiory , oraz formułę , w której jest zmienną związaną, daną przez

gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła spełnia warunek

co wynika z faktu, że . Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc

W powyższym, ustalamy i uzyskujemy

Zauważmy, że oznacza . Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy albo . Stąd, uzyskujemy żądany zbiór taki, że

czyli innymi słowy . W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. oraz , a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli . Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory i , które odpowiadają kolejno i .

Dalsze konstrukcje Singleton Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu czyli zbiór jednoelementowy:

Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru .

Nieuporządkowana n-ka Mając dane zbiory możemy zatem skonstruować zbiory i dalej wobec aksjomatu pary Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów.

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary.

Para uporządkowana

Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i

którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane i są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy i .

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].

Pary