Grupa nilpotentna – grupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja Grupę nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych że:

grupy ilorazowe są podgrupami centrum dla Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy Najmniejsze dla którego grupa jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznaczamy

Uwaga Następujące warunki są równoważne: Ciąg jest centralny. Ciąg jest normalny oraz

Przykłady Grupą nilpotentną jest na przykład: dowolna grupa przemienna, grupa multiplikatywna macierzy postaci gdzie są elementami pewnego ciała, grupa kwaternionów ma centrum rzędu 2 ciąg centralny tej grupy to zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności, każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup, dyskretna grupa Heisenberga. każda grupa rzędu gdzie jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz

Własności Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna. Jeżeli komutant grupy jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna. grupy permutacji nie są nilpotentne dla Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej. Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych: jest nilpotentna. Jeżeli jest właściwą podgrupą to jest właściwą podgrupą normalną normalizatora Każda maksymalna podgrupa właściwa jest normalna. G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa. Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa grupy jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w (zob. podgrupa torsyjna). Jeśli grupa jest nilpotentna stopnia to jest nilpotentna stopnia

Zobacz też grupa

Bibliografia

M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-23]. Nilpotent group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].

N