Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym takim, że (dla każdego )
gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w Oznacza się ją
Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.
Definicja Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym takim, że (dla każdego )
gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry nad ciałem i dla każdego przekształcenia liniowego które spełnia równanie
(dla każdego ) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr taki że tzn. taki, że poniższy diagram 220px
jest przemienny.
Uwagi (1) Ponieważ każdej formie kwadratowej odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa taka, że to równość z definicji można zapisać także
(2) Rozpisując z jednej strony
a z drugiej strony
i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się
(3) Formę kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni z wymiarem równym da się zawsze sprowadzić do postaci
gdzie dla i poza tym.
W bazie w której ma to przedstawienie mamy (oznaczając przez )
Z tego powodu algebrę Clifforda formy oznacza się też
(4) Wektory z utożsamia się z ich obrazami w i bardzo często pisze się zamiast Wektory z rozpięte przez utożsamia się z elementami ciała
Baza i wymiar Jeżeli przestrzeń liniowa jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym z bazą to bazę algebry Clifforda stanowią oraz iloczyny ( oznaczamy przez )
gdzie .
Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi
Konstrukcja algebry Clifforda
Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej może zostać skonstruowana w następujący sposób. Niech będzie algebrą tensorową. oznacza tutaj -krotny iloczyn tensorowy W wybieramy ideał generowany przez tensory postaci Algebrę definiujemy jako iloraz
wraz z naturalnym włożeniem danym wzorem
jest algebrą Clifforda
Przykłady (1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy Oznaczamy i kładziemy Przekształcenie liniowe jest dane wzorem
Mamy
a zatem forma jest dana wzorem
(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy
Oznaczmy i połóżmy
Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z
Przekształcenie liniowe jest dane wzorem
Mamy
Forma kwadratowa jest zatem dana wzorem
(3) Rozpatrzmy -wymiarową podprzestrzeń złożoną z macierzy postaci Nazwijmy ją Jej bazę stanowią macierze i Mamy
Za przyjmujemy algebrę rozpiętą przez i macierz jednostkową ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy
a zatem wraz z jest algebrą Clifforda formy kwadratowej danej wzorem
(4) Liczby podwójne to algebra Clifforda Kokwaterniony to algebra Clifforda albo Bikwaterniony to algebra Clifforda Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy tzn. równej tożsamościowo zero.
Zobacz też algebra tensorowa algebra zewnętrzna iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Wybrane zagadnienia algebry [dostęp 2025-11-18]. Clifford algebra , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Algebry nad ciałem