Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Wprowadzenie W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących: wzięcie podgrupy danej grupy wzięcie ilorazu (gdzie jest podgrupą normalną) oraz wzięcie iloczynu prostego dwóch grup oraz

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa w jest po prostu podgrupą w zawartą w (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy mają postać gdzie jest podgrupą w dla której (co więcej, wtedy i tylko wtedy, gdy ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy oraz znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w

Iloczyn prosty danych grup i to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane z mnożeniem określonym po współrzędnych: elementem neutralnym jest a element odwrotny to Jeśli jest podgrupą w to jest podgrupą w Kryterium bycia podgrupą: zbiór jest niepusty, ponieważ należy do niech i skąd wówczas jako że oraz nazywaną dalej podiloczynem; więcej jest normalna w wtedy i tylko wtedy, gdy każda Nie każda podgrupa (normalna) iloczynu prostego dwóch grup jest podiloczynem: standardowym kontrprzykładem jest grupa czwórkowa Kleina z podgrupą normalną gdzie oznacza grupę liczb całkowitych modulo 2 z działaniem dodawania (ogólnie: dowolna podgrupa przekątniowa w -krotnym iloczynie prostym )..

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu: które pary grup i mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w jest podiloczynem w ?

Odpowiedź daje następujące Stwierdzenie Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy mają skończone, względnie pierwsze rzędyKonieczność. Niech Wówczas jest podiloczynem zatem Na mocy (poniższego) lematu mają skończone, względnie pierwsze rzędy.Dostateczność. Niech będzie podgrupą i niech Ponieważ rzędy są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje skąd zatem gdzie oraz .

wykorzystujące poniższy Lemat Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Wówczas jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy i są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędachKonieczność. Niech będzie cykliczna, tj. Niech tak, by dla pewnej liczby całkowitej W ten sposób oraz oznacza to, że a ma skończony rząd i podobnie ma skończony rząd, a Niech oznacza rząd elementu Wówczas Jednakże jeśli to dlatego tzn. Dostateczność. Niech gdzie przy czym Zachodzi Ale pociąga dlatego Skoro to Zatem ma rząd a więc .

Twierdzenie Niech będą grupami. Niech będzie podgrupą w Niech oraz Wówczas są podgrupami w dla których a odwzorowanie dane wzorem gdzie jest izomorfizmem. Co więcej: jeśli to oraz centrum Niech będą podgrupami w i niech będzie izomorfizmem. Wówczas jest podgrupą Zakładając ponadto oraz otrzymuje się Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski W literaturze spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata: Niech będzie podgrupą w z kanonicznymi rzutami o jądrach dzięki którym można utożsamić z podgrupą normalną w Wówczas obraz w jest wykresem izomorfizmu

Lemat Zassenhausa

thumb|300px|Diagram Hassego do lematu Zassenhausa (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze) obrazujący dodatkowo alternatywne określenie „motyli”. Niech będzie grupą, a oraz będą jej podgrupami. Wówczas a grupy ilorazowe oraz są izomorficzne.

Dowód Zbiór jest podgrupą w Niech gdzie i Teraz daje oraz dla pewnych i podobnie daje oraz dla pewnych Zatem oraz . Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest oraz (co pokazuje, że są one grupami w ), ponadto i podobnie Zatem skoro to jest podgrupą normalną w jest podgrupą normalną w i stąd oraz są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi

Przypisy

Goursata, Lemat G Kategoria:Podgrupy