Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.
Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.
Równanie ciągłości w postaci różniczkowej Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać:
czyli
tzn. dywergencja gęstości prądu danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku w tej substancji.
Np. – gęstość prądu elektrycznego, – gęstości ładunku elektrycznego.
Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.
Poglądowe objaśnienie równania ciągłości Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe
to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.
to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna
co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.
Równania ciągłości relatywistyczne Postać relatywistyczna równania ciągłości Oznaczając współrzędne czterowektora położenia
oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując
z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się
lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina
gdzie
Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że: Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to czterodywergencja prądu tej substancji zeruje się.
Znaczenie postaci relatywistycznej Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące: Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.
Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci
gdzie: – 4-prąd, mierzony przez tego obserwatora, – 4-wektor położenia w układzie tego obserwatora.
Przykład: Zasada zachowania masy W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór
gdzie: – gęstość płynu, – prędkość płynu, – czas,
przy czym
– gęstość prądu masy.
Równanie ciągłości w postaci całkowej Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej
Przypisy
Bibliografia David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
Ciągłości Kategoria:Prawa elektromagnetyczne Kategoria:Zasady zachowania