Przestrzeń pseudometryczna – zbiór, w którym wprowadzono uogólnioną funkcję odległości (pseudometrykę), od przestrzeni metrycznej odróżnia ją to, że odległość między różnymi punktami może być równa zero.
Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.
Definicja Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego warunki:
zerowa odległość
symetria
nierówność trójkąta
Wówczas para uporządkowana nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.
Uwagi:
(1) Z definicji wynika, że dla różnych punktów przestrzeni odległość może być równa zero, co różni pseudometrykę od metryki, w której odległość między dwoma różnymi punktami zawsze jest dodatnia.
(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne. Zamiast warunku przyjmuje się aksjomat identyczności przedmiotów nierozróżnialnych z którego wynika dodatnia odległość między każdymi dwoma różnymi punktami.
Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej W przestrzeni funkcji z wyróżnionym punktem można zdefiniować pseudometrykę wzorem:
Np. niech
oraz
wtedy
oraz
– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje oraz są różne.
Własności W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.
Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte
które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.
Zobacz też przestrzeń metryczna przestrzeń pseudounormowana przestrzeń unormowana Przestrzeń z pseudometryką rozmaitość pseudoriemannowska
Linki zewnętrzne Pseudo-metric , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych