Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły (skończony) to wyrażenie postaci:
gdzie jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby są naturalne i dodatnie. Liczby nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby były rzeczywiste, a ułamki, w których i , nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.
Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima: .
Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi
czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, a Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.
Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.
Znajdowanie ułamków łańcuchowych Algorytm znajdowania reprezentacji liczby w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:
JEŚLI – STOP
PRZEJDŹ DO 2 Dla otrzymujemy na przykład:
Zatem:
Redukty, najlepsze wymierne przybliżenia Niech będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę nazywamy -tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.
Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:
zachodzi Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.
Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek jest -tym reduktem rozwinięcia liczby w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej spełniającej warunek zachodzi nierówność .
Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).
Zobacz też stała Chinczyna Równanie Pella
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Ułamki Łańcuchowe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 2 października 2017 [dostęp 2024-09-04]. Ułamki łańcuchowe – inny sposób zapisu liczb, blog beta-iks.pl, 19 sierpnia 2021 [dostęp 2023-07-08].
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Ułamki