mały|Interpretacja graficzna twierdzenia Newtona.
Twierdzenie Newtona – twierdzenie klasycznej geometrii euklidesowej dotyczące czworokąta opisanego na okręgu, sformułowane przez angielskiego matematyka Isaaca Newtona w XVII wieku.
Twierdzenie
W czworokącie opisanym na okręgu środki jego przekątnych oraz środek okręgu leżą na jednej prostej.
Dowód
Rozważmy czworokąt opisany na okręgu o środku . Niech oraz oznaczają odpowiednio środki przekątnych oraz .
Ponieważ okrąg jest wpisany w czworokąt, punkt jest punktem przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów czworokąta, a więc w szczególności leży na dwusiecznych kątów przy wierzchołkach , , i .
Z definicji środka odcinka mamy i .
Ponieważ czworokąt jest opisany na okręgu, zachodzi równość sum długości przeciwległych boków .
Z warunku styczności wynika, że odpowiednie odcinki stycznych poprowadzonych z tego samego punktu są równe, co prowadzi do zależności liniowej między wektorami .
W konsekwencji wektory oraz są liniowo zależne, czyli istnieje liczba rzeczywista taka, że .
Oznacza to, że punkty , oraz leżą na jednej prostej, q.e.d. Przypisy
Kategoria:Czworokąty Kategoria:Twierdzenia o okręgach i czworokątach Kategoria:Isaac Newton