Igła Buffona – jeden z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges’a-Louisa Leclerca, hrabiego BuffonMétin Frédéric. „La mémoire des nombres. Buffon et le problème de l’aiguille: Le mémoire sur le jeu de Franc-Carreau de 1733”. s. 343–359, IREM de Basse-Normandie Caen, 1997., a w 1777 podał on jego rozwiązanieGeorges Buffon. „Essai d’arithmétique morale”, 1777..

Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby należy do klasy metod Monte Carlo.

Opis problemu i rozwiązanie frame|right Mamy planszę z zaznaczonymi pionowymi liniami odległymi od siebie o Upuszczamy na nią igłę o długości przy czym Eksperyment powtarzamy razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość Jak oszacować stosunek czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

Igła przetnie linię jeśli

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdopodobieństwo przecięcia linii i igły przez otrzymujemy równość:

która po przekształceniu daje:

Komentarze Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadratyScott E. Brodie. „Buffon’s Needle Problem”, http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml.. Przegrana następowała, gdy moneta upadła na linię.

Jeżeli znamy liczbę π, opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

Do przeprowadzenia eksperymentu Buffona wystarczy wybierać punkty na okręgu, aby realizować obroty igły. Istota polega na losowym wyborze tych punktów z rozkładem jednostajnym. Zatem nie ma konieczności losowania kąta ustawienia igły, co wymaga a priori znajomości liczby π.

Przypisy

Linki zewnętrzne

Buffon problem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa