PFA (z ) – aksjomat forsingowy używany w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje formalne Pojęcia wstępne Niech będzie pojęciem forsingu. Powiemy, że zbiór jest filtrem w , jeśli następujące warunki są spełnione: (i) (ii) jeśli oraz to również (iii) jeśli to można znaleźć taki że oraz Zbiór jest gęstym podzbiorem jeśli Niech będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż Przypuśćmy, że jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym, jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu mamy: dla każdego jeśli są niesprzeczne, to (Przypomnijmy, że warunki są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.) Pojęcie forsingu jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej istnieje taki, że: jeśli jest przeliczalnym elementarnym podmodelem oraz to istnieje warunek który jest -generyczny.

PFA i BPFA PFA oznacza następujące zdanie: jeśli pojęcie forsingu jest proper, jest rodziną gęstych podzbiorów oraz to istnieje filtr który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z (tzn. ).

BPFA jest następującym zdaniem: jeśli pojęcie forsingu jest proper, jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno jak i każdy antyłańcuch w rodzinie jest mocy co najwyżej to istnieje filtr który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z (tzn. ).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.. W 1982 roku Szelach opublikował monografięSzelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. . przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych. W 1995 roku Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzili BPFAGoldstern, Martin; Szelach, Saharon: The bounded proper forcing axiom. „J. Symbolic Logic” 60 (1995), s. 58–73. który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne, aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje )Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. .Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora. Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia, aby „złapać swój własny ogon”. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą. Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń: Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie pojęcia forsingu ccc, są proper. Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu), są proper. Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkachRosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ..

Przykłady konsekwencji Załóżmy PFA. Wówczas:

MA, SCH, nie istnieją drzewa Kurepy, suma (s0)-zbiorów Marczewskiego jest -zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór prostej rzeczywistej jest -gęsty w jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego mamy, że Zakładając PFA, każde dwa -gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzneBaumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913–959. North-Holland, Amsterdam, 1984..

Zobacz też aksjomat Martina duże liczby kardynalne forsing hipoteza continuum pojęcie forsingu proper forsing

Przypisy

Kategoria:Forsing Kategoria:Aksjomaty teorii mnogości