Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek
to znaczy
Z definicji wynika, że dla dowolnego zachodzi: o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2.
Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi.
Uogólnieniem macierzy antysymetrycznej jest macierz antyhermitowska.
Własności Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny. Dla macierzy kwadratowej macierz jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli jest dowolną macierzą kwadratową stopnia to
przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną. Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone. Jeśli jest macierzą antysymetryczną stopnia to jej wyznacznik jest równy
W szczególności, jeżeli jest nieparzyste, to (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli jest parzyste, to det można zapisać w postaci gdzie oznacza pfaffian macierzy – wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).
Przykłady Macierzami antysymetrycznymi są:
Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.
W ciele macierz
jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.
Zobacz też forma dwuliniowa macierz antyhermitowska macierz hermitowska macierz symetryczna
A