Pierścień ilorazowy – pierścień zdefiniowany na klasach abstrakcji w zbiorze elementów wyjściowego pierścienia, w którym określono pewną relację równoważności elementów względem pewnego ideału tego pierścienia. Pojęcie analogiczne do grupy ilorazowej.
Definicja formalna
Niech będzie ideałem pierścienia Relacja określona: jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu Zbiór ilorazowy z określonymi w nim działaniami:
jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia przez ideał
Można wykazać, że dowolna relacja jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją dla pewnego ideału
Własności Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem. Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny. Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji . S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym. Jeżeli S jest pierścieniem z jedynką i S/Q jest pierścieniem z dzieleniem, Q jest ideałem maksymalnym. Jeżeli S jest dodatkowo przemienny prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy Q jest ideałem maksymalnym)
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Quotient ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni