thumb|350x350px|Krzywe łańcuchowe dla różnych wartości parametru Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masieLinę taką definiuje się także jako łańcuch zbudowany z nieskończenie wielu i nieskończenie krótkich doskonale sztywnych ogniw nie wykazujących tarcia na łączeniach ogniw. (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnymJ.Hajduk, J.Osiecki, Ustroje cięgnowe – teoria i obliczanie, WNT, Warszawa 1970.G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.Д.Р. Меркин, Введене в механикү гибкой нити, Издат. „Наүка”, Москва 1980..
Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego:
Wyprowadzenie równania thumb|350px|Siły działające na łuk Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk podlega działaniom trzech sił i gdzie: – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie, – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie, – ciężar łuku krzywej.
Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:
Wektory są ortogonalne, więc oznaczając przez kąt między wektorami dostaje się
Ciężar łuku wynosi
gdzie: – długość łuku – ciężar jednostki długości.
Stąd
Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe: gdzie
Różniczkując je względem otrzymujemy
i wykorzystując zależność dostaje się:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi
Podstawiając:
otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:
Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:
Następnie wraca się do podstawienia:
Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie
Zastosowania Liny wiszące thumb|300px
Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).
Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość minimalne zawieszenie i maksymalne zawieszenie W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.
Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale jest równa:
skąd otrzymuje się zależność:
Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:
czyli:
Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:
co daje przybliżoną zależność:
W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina:
Dla dostatecznie dużej wartości (dla małej wartości ) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:
Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.
Stropy Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:
Historia Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.
W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.
Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditorium. Huygens zaproponował nazwę, catenaria ( – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.
Zobacz też geometria analityczna rachunek wariacyjny traktrysa
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
Anglojęzyczne Catenary, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23]. Catenary plot the gateway arch is not a parabola Hanging With Galileo Catenary , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Krzywe płaskie