mały|François Viète (1540–1603)
Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a, który podał je w 1591 roku.
Wzory Viète’a Niech będą pierwiastkami wielomianu o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory
nazywane wzorami Viète’a.
Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim pierwiastków.
Przykłady Wielomian liniowy W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) wzory sprowadzają się do postaci:
Trójmian kwadratowy W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) wzory te przyjmują postać:
Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego wówczas oczywiście oba pierwiastki są zespolone nierzeczywiste.
Wielomian stopnia trzeciego Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci o pierwiastkach wzory te mają postać:
Dowód Przypadek funkcji kwadratowej Niech będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej Wówczas
Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:
a stąd wzory wspomniane wyżej.
Przypadek ogólny Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość
(która jest prawdziwa, gdyż są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy
czyli
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Algebra – wzory Viète’a, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27]. [dostęp 2024-03-07]. Viète theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Twierdzenia o wielomianach