Nierówność Shapiro – nierówność, którą opisał w 1954 roku , matematyk z USA.
Niech oraz będzie liczbą parzystą albo będzie liczbą nieparzystą.
Oznaczmy także Wówczas zachodzi
Nierówność ta dla n = 3 nazywana jest nierównością Nesbitta.
Dla większych wartości n nierówność nie zachodzi, a ostrym ograniczeniem dolnym jest gdzie jest równe gdzie jest największą funkcją wypukłą, której wykres leży poniżej wykresów oraz Wartość tej stałej znalazł w 1969 roku Władimir Drinfeld.
Dowód nierówności dla n = 1 i n = 2 Dowód nierówności dla oraz jest trywialny.
Gdy nierówność Shapiro ma postać:
czyli
gdy nierówność Shapiro jest postaci:
czyli
Dowód nierówności dla n = 3 Skorzystamy z następującego lematu:
Dowód lematu:
Niech będzie dowolną liczbą dodatnią. Mamy:
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Dowód Nierówności Shapiro, gdy
Mamy wykazać, że:
Oznaczmy Zatem:
Nierówność możemy więc zapisać następująco: kolejne nierówności są równoważne:
Na mocy lematu mamy:
Dodając te nierówności stronami otrzymujemy nierówność co dowodzi, że nierówność jest prawdziwa.
Dowód nierówności dla n = 4 Udowodnimy najpierw następujący lemat:
Dowód lematu:
Dla dowolnych dodatnich zachodzi Mamy: c. n. d.
Dowód Nierówności Shapiro dla n = 4:
Mamy wykazać, że
Zauważmy, że:
Na mocy nierówności Cauchy’ego mamy:
czyli:
Mamy zatem:
Na mocy lematu mamy:
Zatem udowodniliśmy nierówność:
która jest równoważna nierówności cnd.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Tomasz Kochanek, Nierówność Shapiro, referat z 8 grudnia 2006, – Koło Naukowe Matematyków, Uniwersytet Śląski w Katowicach (UŚ), knm.katowice.pl [dostęp 2026-01-28].
Shapiro