mały|300x300px|Przybliżone trajektorie trzech identycznych ciał znajdujących się w wierzchołkach trójkąta różnobocznego i mających zerowe prędkości początkowe. Środek masy, zgodnie z zasadą zachowania pędu, pozostaje w tym samym miejscu. Problem trzech ciał – jedno z podstawowych zagadnień analizowanych w mechanice klasycznej, które polega na wyznaczeniu trajektorii trzech punktowych mas poruszających się pod wpływem wzajemnego przyciągania grawitacyjnego. Znając ich początkowe położenia i prędkości (lub pędy), oblicza się ich dalszy ruch za pomocą praw Newtona.
W przeciwieństwie do , problem trzech ciał nie posiada ogólnego rozwiązania w postaci analitycznej, tzn. nie istnieje jedno równanie, które pozwalałoby zawsze wyznaczyć trajektorie. Układ trzech ciał jest w większości przypadków chaotyczny, co oznacza, że nawet niewielkie różnice w początkowych warunkach prowadzą do zupełnie różnych wyników. W praktyce jedynym sposobem przewidzenia ich ruchu jest zastosowanie metod numerycznych.
Problem trzech ciał stanowi szczególny przypadek ogólniejszego problemu ciał. Historycznie pierwszym dokładnie badanym przypadkiem był układ Ziemia, Księżyc i Słońce.
W szerszym, nowoczesnym ujęciu, problem trzech ciał oznacza dowolny problem w mechanice klasycznej lub kwantowej, w którym analizuje się ruch trzech wzajemnie oddziałujących cząstek.
Opis matematyczny Matematyczne sformułowanie problemu trzech ciał można przedstawić za pomocą równań ruchu Newtona dla wektorowych położeń trzech ciał oddziałujących grawitacyjnie o masach :
gdzie to stała grawitacyjna.
Jak opisuje astronom Juhan Frank: „Te trzy wektorowe równania różniczkowe drugiego rzędu są równoważne 18 skalarnym równaniom różniczkowym pierwszego rzędu.”Frank, Juhan (2006). „PHYS 7221 Special Lecture—The Three-Body Problem”, Louisiana State University.
Problem można również sformułować w formalizmie Hamiltona, gdzie opisuje się go za pomocą zestawu 18 równań różniczkowych pierwszego rzędu — po jednym dla każdej składowej położeń i pędów :
gdzie to Hamiltonian (całkowita energia układu= potencjalna + kinetyczna):
Ograniczony problem trzech ciał thumb|400x400px|Ograniczony cyrkulacyjny problem trzech ciał jest dobrym przybliżeniem orbit eliptycznych spotykanych w Układzie Słonecznym. Można go zobrazować jako kombinację potencjałów grawitacyjnych dwóch ciał głównych oraz efektu odśrodkowego wynikającego z ich obrotu. Punkty Lagrange’a to miejsca, w których gradient wynikowej powierzchni potencjału wynosi zero, co oznacza równowagę sił.
W wersji „ograniczonego problemu trzech ciał”, jak opisuje Barrow-Green, dwa ciała... krążą wokół swojego wspólnego środka masy po orbitach kołowych, pod wpływem wzajemnego przyciągania grawitacyjnego i tworzą układ dwóch ciał... [którego] ruch jest znany. Trzecie ciało (zwykle nazywane planetoidą), zakłada się, że ma pomijalną masę względem pozostałych dwóch, porusza się w tej samej płaszczyźnie i choć podlega ich przyciąganiu, samo nie wpływa na ich ruch.
Problem polega zatem na określeniu ruchu tego trzeciego ciała.
Zakłada się, że dwa główne ciała poruszają się po orbitach kołowych wokół wspólnego środka masy, a planetoida porusza się w tej samej płaszczyźnie. W układzie obracającym się względem tych dwóch ciał (tzn. w układzie współrzędnych, w którym oba ciała są nieruchome), trzecie ciało również może pozostawać nieruchome w jednym z punktów Lagrange’a, lub poruszać się wokół nich, np. po orbicie podkowiastej.
Ograniczony problem trzech ciał jest teoretycznie prostszy do analizy niż pełny problem i ma istotne znaczenie praktyczne — dobrze opisuje wiele realnych układów, np. Ziemia–Księżyc–Słońce. Z tego względu odegrał kluczową rolę w historii rozwoju badań nad problemem trzech ciał.
Problem można przedstawić matematycznie w sposób następujący: Niech będą masami dwóch ciał głównych, o współrzędnych oraz . Planetoida ma współrzędne . Wybierając jednostki tak, by odległość między ciałami głównymi oraz stała grawitacyjna były równe 1, ruch planetoidy opisują równania:
gdzie – promienie wodzące ciał głównych.
Jeśli jednak dwa ciała główne poruszają się po orbitach kołowych ze stałymi prędkościami, to można przejść do układu obracającego się wraz z nimi, co eliminuje zależność czasową z równań i upraszcza dalszą analizę.
Rozwiązania Ogólne rozwiązanie 400x400px|thumb|Układ trzech ciał oddziałujących grawitacyjnie jest chaotyczny, ale układ trzech ciał oddziałujących sprężyście już niekoniecznie.
Nie istnieje ogólne rozwiązanie w postaci analitycznej problemu trzech ciał. To znaczy, nie da się przedstawić wzorów, opisujących położenia każdego z trzech ciał układu za pomocą skończonej liczby standardowych operacji matematycznych. Jak wynika z rozwiązań numerycznych, ruch trzech ciał jest na ogół nieregularny i niepowtarzalny – z wyjątkiem szczególnych przypadków.
W 1912 roku fiński matematyk Karl Fritiof Sundman udowodnił, że istnieje rozwiązanie analityczne tego problemu w postaci szeregów Puiseux, a konkretnie szeregów potęgowych względem Barrow-Green, June (2010). „The dramatic episode of Sundman”, Historia Mathematica 37, s. 164–203..
Szereg ten jest zbieżny dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem przypadków, gdy całkowity moment pędu układu wynosi zero, . W praktyce przypadki takie są niezwykle rzadkie i mają miarę Lebesgue’a równą zeru.
Istotnym aspektem tego rozwiązania jest to, że promień zbieżności szeregu zależy od odległości do najbliższej osobliwości. Sundman wykazał, że jedynymi osobliwościami są kolizje: podwójne lub potrójne. Kolizje trzech ciał są możliwe tylko wtedy, gdy moment pędu wynosi zero. Dlatego:
Wprowadził transformację zmiennych (tzw. regularyzację) umożliwiającą kontynuowanie rozwiązania pomijające kolizje dwóch ciał w układzie. Ograniczył zbiór danych początkowych do przypadków z , co wykluczyło rzeczywiste osobliwości. Wykazał, że dla układ nie może zbliżyć się do kolizji potrójnej. Zastosował odwzorowanie konforemne zamieniające pasmo zespolone wokół osi rzeczywistej na koło jednostkowe, np. przez podstawienie:
To kończy dowód twierdzenia Sundmana.
Praktyczne zastosowanie tego rozwiązania jest jednak bardzo ograniczone – szereg zbiega niezwykle wolno. W 1930 roku David Beloriszky oszacował, że do uzyskania dokładności potrzebnej w astronomii potrzeba byłoby około 108 000 000 wyrazów.
Rozwiązania szczególne 400px|thumb|Animacja rozwiązania typu „ósemka” w problemie trzech ciał; okres obiegu T ≃ 6,3259Z wartościami początkowymi: r1(0) = -r3(0) = (−0.97000436, 0.24308753); r2(0) = (0,0); v1(0) = v3(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); v2(0) = (−0.93240737, −0.86473146). 400px|thumb|20 przykładów okresowych rozwiązań problemu trzech ciał. (Kliknij w obrazek, by zobaczyć animacje ruchu ciał)
W 1767 roku Leonhard Euler odkrył trzy rodziny rozwiązań okresowych, w których trzy masy są zawsze ustawione wzdłuż jednej linii.
W 1772 roku Lagrange znalazł rodzinę rozwiązań, w których masy tworzą trójkąt równoboczny w każdej chwili. Razem z rozwiązaniami Eulera tworzą one tzw. konfiguracje centralne dla problemu trzech ciał. Są one poprawne dla dowolnych proporcji mas, a ciała poruszają się po orbitach Keplerowskich. W szczególnym przypadku ograniczonego cyrkulacyjnego problemu trzech ciał, te rozwiązania stają się punktami stacjonarnymi w układzie obrotowym – są to punkty Lagrange’a L₁–L₅.
W latach 1892–1899 Henri Poincaré udowodnił istnienie nieskończonej liczby rozwiązań okresowych ograniczonego problemu trzech ciał i opracował metody ich kontynuowania w ogólnym przypadku.
W 1893 roku Meissel sformułował tzw. „pitagorejski problem trzech ciał”: trzy masy o stosunku 3:4:5 rozmieszczone w wierzchołkach trójkąta prostokątnego i pozostające w spoczynku. W 1913 roku problem ten szczegółowo badał Burrau, a w 1967 Szebehely i Peters wykazali, że najlżejsze ciało ostatecznie ucieka z układu.
W latach 70. XX w. Michel Hénon i Roger A. Broucke odkryli rodzinę rozwiązań, w których trzy jednakowe masy poruszają się w układzie okresowym – niektóre z tych rozwiązań mają trajektorie, w których dwa ciała podążają tą samą ścieżką.
W 1993 roku Cris Moore z Instytutu Santa Fe odkrył rozwiązanie z zerowym momentem pędu, w którym trzy jednakowe masy poruszają się po trajektorii w kształcie „ósemki”. W 2000 roku Alain Chenciner i Richard Montgomery formalnie dowiedli istnienia tego rozwiązania.
W 2013 roku Milovan Šuvakov i Veljko Dmitrašinović odkryli 13 nowych rodzin rozwiązań dla problemu trzech ciał z równymi masami i zerowym momentem pędu.
W 2015 roku fizyczka Ana Hudomal odkryła 14 kolejnych rodzin takich rozwiązań.
W 2017 Xiaoming Li i Shijun Liao znaleźli 669 nowych okresowych orbit, a w 2018 kolejne 1223 rozwiązania dla układów z nierównymi masami.
W 2023 roku Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Veljko Dmitrašinović i Kiyotaka Tanikawa opublikowali 12 409 rozwiązań dla tzw. „okresowych orbit swobodnego spadku” w przypadku równych mas.
Podejścia numeryczne Przy użyciu komputera problem może być rozwiązany z dowolnie wysoką precyzją za pomocą całkowania numerycznego. Podejmowano próby tworzenia programów komputerowych, które numerycznie rozwiązują problem trzech ciał (a w szerszym ujęciu problem n ciał), uwzględniających zarówno oddziaływania elektromagnetyczne, jak i grawitacyjne oraz włączających współczesne teorie fizyczne, takie jak szczególna teoria względności. Dodatkowo, przy użyciu teorii błądzenia losowego można obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo różnych wyników.
Historia Problem grawitacyjny trzech ciał w swoim tradycyjnym sensie datuje się zasadniczo od roku 1687, kiedy Izaak Newton opublikował dzieło Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, w którym próbował ustalić, czy możliwa jest jakakolwiek długoterminowa stabilność w układzie takim jak Ziemia, Księżyc i Słońce, po wcześniejszym rozwiązaniu problem dwóch ciał. Kierując się osiągnięciami wielkich astronomów renesansu: Mikołaja Kopernika, Tycho Brahego i Johannesa Keplera, Newton zapoczątkował badania nad problemem trzech masywnych ciał. W Propozycji 66 Księgi I Principiów i jej 22 Korolariach Newton postawił pierwsze kroki w definiowaniu i badaniu ruchów trzech masywnych ciał podlegających wzajemnym zaburzeniom grawitacyjnym (Propozycja – to twierdzenie, Koloraria – to wnioski, wysnuwane z twierdzeń). W Propozycjach 25–35 Księgi III zastosował te wyniki do teorii Księżyca, analizując ruch Księżyca pod wpływem grawitacji Ziemi i Słońca. Później problem ten zastosowano również do oddziaływań innych planet z Ziemią i Słońcem.
Problem fizyczny był wcześniej rozważany przez Amerigo Vespucciego, następnie przez Galileusza i Simona Stevina, lecz nie zdawali oni sobie sprawy z wagi swoich wkładów. Galileusz, choć wykazał, że prędkość spadania wszystkich ciał zmienia się jednakowo, nie zastosował tej wiedzy do ruchów planet. Tymczasem już w 1499 roku Vespucci użył pozycji Księżyca do określenia swojego położenia w Brazylii. W latach 20. XVIII wieku problem ten nabrał znaczenia technicznego, gdyż jego dokładne rozwiązanie mogło pomóc w wyznaczaniu długości geograficznej na morzu, co w praktyce udało się dzięki Johnowi Harrisonowi i jego chronometrowi morskiemu. Jednak dokładność teorii Księżyca była niska – ze względu na zakłócenia spowodowane wpływem Słońca i planet.
Jean Le Rond d’Alembert i Alexis Clairaut, którzy rywalizowali ze sobą przez wiele lat, podjęli próbę ogólnej analizy tego problemu i przedstawili swoje konkurencyjne opracowania w Akademii Nauk w Paryżu w 1747 rokuObie prace z 1747 roku można przeczytać w tomie Histoires (w tym Mémoires) Akademii Królewskiej Nauk za 1745 (wydanym z opóźnieniem w 1749 roku) (po francusku):
Clairaut: "O systemie świata według zasad powszechnego ciążenia" (s. 329–364);